[b][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/b][br]曲線の小部分の長さΔ[sup]2[/sup]ｓ=Δ[sup]2[/sup]ｘ+Δ[sup]2[/sup]ｙとなるから、[b][size=150]極限はd[sup]2[/sup]s=d[sup]2[/sup]x+d[sup]2[/sup]y[/size][/b]となるだろう。[br]これは、ピタゴラスの定理を使っただけ。[br][br]ds=[math]\sqrt{d^2x+d^2y}=\sqrt{d^2x\left(1+\frac{d^2y}{d^2x}\right)}=\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx[/math] これをｘの積分区間[a,b]でSumすればよいね。[br]もしも、ｘ，ｙともにパラメータｔの関数f(t),g(t)となっているなら、[br][math]\sqrt{d^2x+d^2y}=\sqrt{d^2t\left(\frac{d^2x}{d^2t}+\frac{d^2y}{d^2t}\right)}=\sqrt{\left(x'\right)^2+\left(y'\right)^2}dt[/math] と微分形式で変形できるね。[br]また、動点が極座標（r；θ）のｒがθの関数f(θ）となるとき、[br]もとの点（f(θ）；θ)と(f(θ＋Δθ)；θ+Δθ）の距離は動径の増加Δｒと回転による増加ｒΔθを２辺とする[br]直角三角形の斜辺と見ることができるから、ds=[math]\sqrt{\left(\Delta r\right)^2+\left(r\Delta\theta\right)^2}=\sqrt{\left(\left(\frac{\Delta r}{\Delta\theta}\right)^2+r^2\right)\left(\Delta\theta\right)^2}\longrightarrow\sqrt{f^2+f'^2}d\theta[/math][br][color=#0000ff]（例）カテナリー[[/color]catenary[color=#0000ff]][br] [/color]けんすい線（重力でたれるひも）[br] カテナリーは、ラテン語の鎖の意味のカテーナ[catena]から来ているらしい。[br]「y=acoh(x/a)=a/2(e[sup]x/a[/sup]+e[sup]-x/a[/sup])のx=[-b,b]の区間での長さL」は？[br]ｙ軸対称なので、積分区間を[0,b]として２倍すればよい。[br]y'=sinh(x/a)とcos[sup]2[/sup]hx-sin[sup]2[/sup]hx=1から、ds=√(1+(y')[sup]2[/sup])=√(1+sih[sup]2[/sup](x/a))=cosh(x/a)だから、[br]L=2integral(cosh(x/a),0,b)=2(asinh(b/a)-asinh(0/a))=(a(e[sup]b/a[/sup]-e[sup]-b/a[/sup])-a(e[sup]0/a[/sup]-e[sup]-0/a[/sup]))[br]=a(e[sup]b/a[/sup]-e[sup]-b/a[/sup])[br][color=#0000ff][b]（例）サイクロイド[cycloid][br][/b][/color]「aが正数で、x=a(t-sint),y=a(1-cost)のt=[0,2π]の区間での長さL」は？[br]x'=a(1-cost), y'=a sintからds=√(x')[sup]2[/sup]+(y')[sup]2[/sup])=a√((1-cost)[sup]2[/sup]+sin[sup]2[/sup]t)=a√(2(1-cost))=a√(2・2sin[sup]2[/sup]t/2))[br]=2a sin(t/2)[br]L=integral(2a sin(t/2),0,2π)=2a integral(sin(t/2),0,2π)=2a(( -2cos(2π/2)-(-2cos(0/2)))[br]=2a(2+2)=8a[br][b][color=#0000ff]（例）アステロイド[asteroid][br][/color][/b]「aが正数で、x=acos[sup]3[/sup]t,y=asin[sup]3[/sup]tのt=[0,2π]の区間での長さL」は？[br]x'=3acos[sup]2[/sup]t(-sint), y'=3asin[sup]2[/sup]t costからds=√(x')[sup]2[/sup]+(y')[sup]2[/sup])=3a sint･cost√(cost[sup]2[/sup]+sin[sup]2[/sup]t)=3a sint･cost [br]=3/2a sin(2t)[br]対称性から、t=[0,π/2]で求めて４倍すればよい。[br]L=4integral(3/2a sin(2t),0,π/2)=6a integral(sin(2t),0,π/2)=6a[ (-1/2cos(2・π/2)-(-1/2cos(2・0)))[br]=6a(1/2+1/2)=6a[br][color=#0000ff][b]（例）カージオイド[cardioid][/b][/color][br]「r=f(θ)=a(1+cosθ)　（aは正）のθ=[-π,π]の区間での長さL」は？[br]　f'=-asinθだから、ds=a√(1+cosθ)[sup]2[/sup]+(sin[sup]2[/sup]θ))=2a sin(θ/2)　（上のサイクロイドと同じ計算）[br] ｘ軸対称なので、θ=[0,π]で求めて２倍しよう。[br] L=2integral(2a sin(t/2),0,π)=4a integral(sin(t/2),0,π)=4a(( -2cos(π/2)-(-2cos(0/2)))[br]=4a(0+2)=8a[br][b][size=150][color=#999999][br][/color][/size][/b]