Die Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion (Produkt & Kettenregel)
Table des matières
- Exponentielles Wachstum
- Erkunden: Exponentielles Wachstum
- Ordnen: Der Logarithmus
- Ordnen: Exponentielle Funktionen
- Vertiefen: Exponentialgleichungen 1
- Vertiefen: Exponentialgleichungen 2
- Vertiefen: Exponentialgleichungen 3
- Vertiefen: Exponentialgleichungen 4
- Vertiefen: Exponentialgleichungen 1 Lösung
- Merke
- Die e-Funktion
- Wiederholung: Ableitungen
- Erkunden: Exponentialfunktionen Ableiten
- Ordnen: Die Kettenregel
- Vertiefen: Aufgaben mit der Kettenregel
- Merke
- Zusammengesetzte Funktionen
- Erkunden & Ordnen: Die Produktregel
- Ordnen: Die Produktregel anwenden
- Vertiefen: Zusammengesetzte Funktionen modellieren
- Merke
- Klausurvorbereitung
- Kompetenzen
- Beispielaufgaben
Erkunden: Exponentielles Wachstum
Schritt 1: Finde ein Muster
a) [i]Berechne [/i]die prozentuale Veränderung der Neuerkrankungen von Woche zu Woche.[br]Notiere, was dir auffällt. [url=https://quicklatex.com/cache3/bc/ql_6c5a427e5dd07e1672d0af72a9cd0cbc_l3.png]Tipp 1[/url] [url=https://quicklatex.com/cache3/29/ql_fd14d10e24614a1ce78e98e3030efc29_l3.png]Tipp 2[/url][br][br]b) [i]Beschreibe[/i], wie du mit dem Ergebnis aus a) die Infektionen der nächsten Woche aus den Infektionen der letzten Woche berechnen kannst. [url=https://quicklatex.com/cache3/df/ql_3de1e12391b1c1dff2f4c7d69b2e41df_l3.png]Tipp 1[/url] [url=https://quicklatex.com/cache3/18/ql_6936fc0b12f84f1d35ef611a313a0518_l3.png]Tipp 2[/url][br][br]c) [i]Beschreibe[/i] damit, wie du die Anzahl der Infektionen aus einer beliebigen Woche aus den Infektionen der ersten Woche berechnen kannst. [url=https://quicklatex.com/cache3/98/ql_1b8a7c780b0eea9af98b900dbebd8898_l3.png]Tipp 1[/url] [url=https://quicklatex.com/cache3/8f/ql_4c1b7300e5dd75e684e8871e07a9988f_l3.png]Tipp 2[/url]
Schritt 2: Stelle eine Funktion auf
Nutze dein Ergebnis aus Aufgabe 2, um die Anzahl der Infektionen f(x) nach x Wochen als [i]Funktion aufzustellen[/i]. [url=https://quicklatex.com/cache3/33/ql_19b87c692dff96c960f1349fc8a45733_l3.png]Tipp 1[/url] [url=https://quicklatex.com/cache3/f5/ql_f6e16435b76675c00f52a7c075233ef5_l3.png]Tipp 2[/url]
Überprüfung: Welche der Funktionen beschreibt am ehesten die Anzahl der Infektionen nach x Wochen?
Schritt 3: Nutze deine Funktion
Nutze die aufgestellte Funktion, um Vorhersagen zu treffen:
a) [i]Berechne[/i] die Erwartete Anzahl Infizierter nach 10 Wochen.
b) [i]Berechne[/i] die erwartete Anzahl Infizierter nach 15 Wochen.
c)* [i]Bestimme[/i], nach wie vielen Wochen die Anzahl Infizierter eine Million überschreitet.
d)* [i]Entscheide begründet,[/i] für welche x deine Funktion kein sinnvolles Modell der Wirklichkeit mehr ist.
Zusatzaufgabe
In Amerika lies sich folgender Trend bemerken:[br][table][tr][td]Woche[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]4[/td][/tr][tr][td]Infektionen[/td][td]1203[/td][td]2210[/td][td]4301[/td][td]6807[/td][td]11337[/td][/tr][/table][br][br][i]Stelle[/i] auch hierzu eine Funktionsgleichung [i]auf[/i] und [i]vergleiche[/i] sie mit der Anzahl der Infektionen in Deutschland.
Wiederholung: Ableitungen
Die zurückgelegte Strecke (in km) in Abhängigkeit von der Zeit (in Stunden) einer Autofahrt zwischen Antwerpen und Brüssel wird durch die Funktionsgleichung [br][br][math]f\left(x\right)=-250x^4+\frac{350}{3}x^3+116x[/math] beschrieben.[br][br]a) Erkläre grafisch und im Kontext der Autofahrt die Bedeutung der Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math].[br][br]b) Es gilt [math]f'\left(0,1\right)=118,5[/math]. Deute diese Rechnung im Sachzusammenhang.[br][br]c) Zwischen Antwerpen und Brüssel gilt für diese Funktion niemals [math]f'\left(x\right)=0[/math]. Erkläre diese Auffälligkeit.[br][br]Damit die Autofahrer sich an die Höchstgeschwindigkeit von 120km/h halten, wird bei Ortsausgang in Antwerpen und Ortseingang in Brüssel jeweils das Nummernschild und die Zeit notiert, um eine Durchschnittliche Geschwindigkeit zu berechnen.[br][br]d) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn Antwerpen nach etwa 23 Minuten erreicht wird.[br][br]e) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit in dem Intervall [0,1;0,17]. Welche Vermutung kannst du daraus folgern?[br][br]f) Stelle die Ableitungsfunktion auf und berechne die Ableitung an verschiedenen Stellen im Intervall [0,1;0,17], um deine Vermutung zu überprüfen.[br][br]Sprinteraufgabe:[br][br]Zu welchem Zeitpunkt wird die Geschwindigkeit maximal? Berechne auch die zugehörige Höchstgeschwindigkeit.
Erkunden & Ordnen: Die Produktregel
Wiederholung: Die Ableitung
"Wenn ich meinen x-Wert um ein Stück dx erhöhe, dann verändert sich auch mein Funktionswert f(x). Die Stärke der Veränderung hängt von der Ableitung ab."
Aufgabe 1
a) Überprüfe diese Aussage mithilfe der Simulation.[br]b) Es ist [math]f\left(x\right)=x^2[/math]. Berechne f'(x).[br]c) Berechne die Veränderung dy an den Stellen x=2, x=4, x=6 und x=8. (Wir nehmen immer dx=1.) Überprüfe deine Ergebnisse mithilfe der Simulation. [url=https://quicklatex.com/cache3/c8/ql_13eaf956f67bc109f5dfb26f363db1c8_l3.png]Tipp[/url]
Die Produktregel
Ein Produkt von zwei Zahlen kann man sich immer als Flächeninhalt eines Rechtecks vorstellen. Bei einem Produkt [math]f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)[/math] von zwei Funktionen ist dann jede der Funktionen (also [math]u\left(x\right)[/math] und [math]v\left(x\right)[/math]) eine Seitenlänge des Rechteckes.
Wenn sich nun x verändert, verändern sich sowohl g(x) als auch h(x) (entsprechend ihrer Ableitung). Die Veränderung von f(x) erkennst du an den 3 roten Flächen in der Simulation.
Aufgabe 2
a) Schätze die Veränderung [math]f'\left(x\right)[/math] ab, indem du einen Term für alle 3 roten Flächen aufstellst und diese addierst. [url=https://quicklatex.com/cache3/47/ql_8b0c989fbbff25358c544be3e0ba0a47_l3.png]Kontrollergebnis[/url][br]b) Um die tatsächliche Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] zu bekommen, muss man die Veränderung von x immer kleiner werden lassen. Damit wird eines der roten Rechtecke so klein, dass wir es weglassen müssen. Bestimme die korrekte Ableitung als die Fläche der beiden übrigen Rechtecke. [url=https://quicklatex.com/cache3/a4/ql_9cc4a8cbd228b532846a2f927e02aaa4_l3.png]Kontrollergebnis[br][/url]c) Formuliere die allgemeine Produktregel, indem du in deinem Ergebnis die einzelnen Terme durch die Elemente [math]u\left(x\right)[/math], [math]u'\left(x\right)[/math], [math]v\left(x\right)[/math] und [math]v'\left(x\right)[/math] ersetzt. [url=https://quicklatex.com/cache3/11/ql_fca9374009fbde3ebe29a50a93d28d11_l3.png]Tipp[/url]
Aufgabe 3
Bearbeite die Aufgabe [url=https://learningapps.org/14507299]https://learningapps.org/14507299[/url].[br]Notiere dazu zu jeder Funktion zunächst u(x) und v(x), berechne [math]u'\left(x\right)[/math] und [math]v'\left(x\right)[/math] und stelle dann [math]f'\left(x\right)[/math] zusammen.
Kompetenzen
Generelles:
Im folgenden sind alle [u]mathematisch-rechnerischen Kompetenzen[/u] die ihr braucht, um Aufgaben in der Klausur zu erkennen. Darüber hinaus werdet ihr:[br]- anhand von Kontexten erkennen müssen, was genau in der Aufgabe gefordert ist[br]- nicht unbedingt nur Ergebnisse berechnen, sondern auch Ergebnisse im Kontext interpretieren und vergleichen[br]- an wenigen Stellen Stellen mit diesen Werkzeugen abstraktere Fragestellungen beantworten müssen[br][br][br]Auf der nächsten Seite findet ihr (nur innermathematisch formulierte) Aufgaben, die genau dies fordern. Die Komplexität der Funktionen und der vorkommenden Zahlen entspricht dabei in etwa dem Anspruch, den ihr auch in der Klausur erwarten könnt. Die Anzahl der Aufgaben in der Klausur wird dabei deutlich größer sein.
Exponentialfunktionen:
1) Aus einem Kontext Anfangsbestand und Wachstumsfaktor ablesen und daraus eine Funktionsvorschrift aufstellen.[br]2) Aus einem Graphen oder einer Tabelle Anfangsbestand und Wachstumsfaktor ablesen und eine Funktionsvorschrift aufstellen.[br]3) Den Logarithmus (zur Basis 10) nutzen, um das x in Exponentialgleichungen zu bestimmen.
E-Funktionen
1) Mithilfe von Produkt- und Kettenregel zusammengesetzte Funktionen ableiten.[br]2) Den Logarithmus (zur Basis 10) nutzen, um das x in Exponentialgleichungen zu bestimmen.[br]3) Eine durchschnittliche Änderungsrate bestimmen und mit der Ableitung an verschiedenen Stellen vergleichen.