Ab dem 3. Folgeglied liegt die Folge in der [math]\varepsilon[/math]-Umgebung.

Ab dem 17. Folgeglied liegt die Folge in der [math]\varepsilon[/math]-Umgebung.

Nein. Wählt man die hier kleinstmögliche [math]\varepsilon[/math]-Umgebung von 0,01, liegen ab dem 101. Folgeglied alle weiteren Folgeglieder in der [math]\varepsilon[/math]-Umgebung. [br]Auch wenn man eine noch kleinere [math]\varepsilon[/math]-Umgebung wählen könnte, würden ab einem bestimmten Folgeglied alle weiteren Folgeglieder in der [math]\varepsilon[/math]-Umgebung liegen, da sich die harmonische Folge mit jedem Folgeglied immer weiter der 0 annähert (die Folge "strebt gegen" 0).[br]Es gilt: [math]lim_{n\longrightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\right)=0[/math]. Die harmonische Folge konvergiert gegen 0, da ab einem bestimmten Punkt alle weiteren Folgeglieder in der [math]\varepsilon[/math]-Umgebung für [math]\varepsilon>0[/math] liegen.

[i]Ursprüngliche Definition:[/i] Eine Folge konvergiert gegen [math]a[/math], wenn es zu jedem [math]\varepsilon>0[/math] ein [math]n_0\in\mathbb{N}[/math] gibt, so dass[math]\mid a_n-a\mid<\varepsilon[/math] für alle [math]n>n_0[/math].[br][br][i]In eigenen Worten z.B.:[/i] Vermutet man den Grenzwert [math]a[/math] einer Folge (wie beispielsweise 0 bei der harmonischen Folge) müssen ab einem bestimmten Folgeglied ([math]n_0\in\mathbb{N}[/math]) alle weiteren Folgeglieder ([math]a_n[/math] mit [math]n>n_0[/math]) in einer beliebig klein gewählten [math]\varepsilon[/math]-Umgebung mit [math]\varepsilon>0[/math] liegen. Damit die Folgenglieder in der [math]\varepsilon[/math]-Umgebung liegen, muss die Differenz zwischen den jeweiligen Folgegliedern und dem vermuteten Grenzwert kleiner als das gewählte [math]\varepsilon[/math] sein ([math]\mid a_n-a\mid<\varepsilon[/math]).

Die Folge konvergiert mit Grenzwert [math]lim_{n\Rightarrow\infty}\frac{n+1}{n}=1[/math]

Die Folge konvergiert mit Grenzwert [math]lim_{n\Rightarrow\infty}\frac{3n+1}{n}=3[/math]

Die Folge divergiert unbestimmt