[b]Problemstellung[/b][br]In einen kegelförmigen Behälter wird Wasser mit einer konstanten Zuflussmenge c pro Zeiteinheit eingefüllt. Der Kegel hat den Radius R und die Höhe H.[br]Berechne, wie sich die Füllhöhe h im Lauf der Zeit t ändert.[br][br][i]Lösung[/i][br]Das eingefüllte Wasser bildet ebenfalls einen Kegel mit Radius r und Höhe h.[br]Es gilt die Beziehung: [math]\frac{r}{h} = \frac{R}{H} \quad ⇒ \quad r = \frac{R}{H}·h [/math][br][br]Das Volumen des eingefüllten Wassers kann folgendermaßen berechnet werden:[br][math]V = \frac{r^2 \pi h}{3} = \frac{ (\frac{R}{H}·h)^2 \pi h}{3} = \frac{ R^2 h^3 \pi }{3H^2}[/math][br][br]Die Änderungsrate des Volumens ist konstant und entspricht der Zuflussmenge c pro Zeiteinheit:[br][math]\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh}·\frac{dh}{dt} = \frac{ R^2 3h^2 \pi }{3H^2}·\frac{dh}{dt} = c [/math] [br]Daraus berechnet sich die Änderung der Höhe h mit der Zeit t:[br][math] \frac{dh}{dt} = \frac{ cH^2 }{ R^2 \pi }·\frac{1}{h^2}[/math][br][br]Diese Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden (mit dem Anfangswert h(0) = 0).[br][math]\begin{align} \int{h^2 dh} &= \int{ \frac{ cH^2 }{ R^2 \pi } dt} \\ \frac{h^3}{3} &= \frac{ cH^2 }{ R^2 \pi }·t \\ h &= \sqrt[3]{ \frac{ 3cH^2 }{ R^2 \pi }·t }\end{align}[/math][br]Die Anhängigkeit der Höhe h von der Zeit t wird durch eine Wurzelfunktion (3. Wurzel) beschrieben.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Werte für den Radius R, die Höhe H des Kegels oder die Zuflussmenge c pro Zeiteinheit.[br]Wie lange braucht es, um den Kegel mit R = 1, H = 3 und c = π zu füllen?[br]Wie lange dauert es, bis der Kegel gefüllt ist, wenn der Radius R verdoppelt wird? Begründe deine Antwort im Detail.