[b][color=#1155cc][size=150]K4. προσέγγιση εμβαδού κυκλικού δίσκου με κυκλικούς τομείς[br][/size][/color][/b][br]Στο δόμημα περιέχεται ένας κύκλος ακτίνας r και τρεις μεταβολείς, με τις εξής λειτουργίες:[br][list][*][b]Πλήθος τομέων[/b]: μεταβάλλει το πλήθος των τομέων που χωρίζουμε τον κύκλο[/*][*][b]1ος μετασχηματισμός[/b]: διασπά τους τομείς [/*][*][b]2ος μετασχηματισμός:[/b] ενώνει τους τομείς σε ένα σχήμα.[/*][/list]Τέλος οι διαστάσεις x και y του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, που αρχικά δεν εμφανίζονται οι τύποι τους.

[size=85]Malin Christersson - προσαρμογή & τροποποίηση : [b]e-arsakeio[/b][/size]

[b][size=150][color=#1155cc]Πειραματισμός - Διαπιστώσεις[/color][/size][/b][br][br]1. Αυξήστε το πλήθος τομέων σε 20. Στη συνέχεια ολοκληρώστε τον 1ο μετασχηματισμό.[br][list][*]Με τί ισούται η διάσταση y;[/*][*]Πώς σχετίζεται η διάσταση x με το μήκος του κύκλου; [/*][/list]2. Ολοκληρώστε το 2ο μετασχηματισμό.[br][list][*]Τί σχήμα φαίνεται να δημιουργείται;[size=150][/size][/*][*]Αυξήστε διαδοχικά το πλήθος των τομέων μέχρι το τέλος. Τί σχήμα φαίνεται τώρα να δημιουργείται;[/*][/list]3. Γράψτε στο τετράδιο τον τύπο εμβαδού του ορθογωνίου ΑΒΓΔ με διαστάσεις x και y. [br]4. Τί φαίνεται να ισχύει για το εμβαδόν του κύκλου;[br]5. Με το εργαλείο μεγέθυνσης, κάντε κλικ στις πλευρές του ΑΒΓΔ. Ποιο θέμα φαίνεται να προκύπτει; Έχετε να προτείνετε τρόπο για την αντιμετώπισή του;[br][br]Γράψτε στο τετράδιο τί διαπιστώσατε από αυτόν τον πειραματισμό.

[color=#1155cc][b][size=150][br][br][br]Κ5. Προσέγγιση εμβαδού κυκλικού δίσκου με κανονικά πολύγωνα[br][/size][/b][/color][br]Στο δόμημα περιέχονται:[br][list][*]Ένας κύκλος (Ο,R) και ένα κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο.[/*][*]Οι δρομείς ν και R, από τους οποίους μεταβάλλουμε το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου και την ακτίνα του κύκλου αντίστοιχα. [/*][*]Τέλος, οι μετρήσεις για εμβαδά του κύκλου και του πολυγώνου, καθώς και η μεταξύ τους διαφορά.[/*][/list]

[b][color=#1155cc][size=150]Πειραματισμός - Διαπιστώσεις[br][/size][/color][/b][br][b]1o στάδιο[/b][br][list=1][*]Μετακινήστε το δρομέα ν για να αυξήσετε τον αριθμό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου. Παρατηρήστε πώς μεταβάλλονται: το εμβαδόν του κύκλου, το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου και η διαφορά τους.[/*][*]Εξετάστε τί συμβαίνει με τη διαφορά εμβαδών όταν η τιμή του ν συνεχίζει να αυξάνεται.[/*][*]Υπάρχει τιμή του ν, ώστε η διαφορά των δύο εμβαδών να είναι μηδέν;[/*][*]Διατυπώστε τη γνώμη σας για το ερώτημα: "[color=#1c4587][i]Μπορούμε να βρίσκουμε κάθε φορά κάποια τιμή του ν, από την οποία και πάνω, η διαφορά εμβαδών να είναι όσο μικρή θέλουμε[/i]"[/color].[/*][/list][br][b]2ο στάδιο[/b][br][br]Έχοντας την τιμή του ν κοντά στο 500, επιλέξτε το εργαλείο μεγέθυνσης και πλησιάστε το κοντά στην περιφέρεια του κύκλου. [br]Πατήστε το αρκετές φορές μέχρι να φανεί η περιφέρεια του κύκλου. [br][list][*]Τί παρατηρείτε;[/*][*]Αυξήστε το ν διαδοχικά μέχρι το 1000. Τί φαίνεται να ισχύει τώρα;[/*][/list][br][b]3ο στάδιο[/b][br]Με βάση τις παρατηρήσεις σας στα προηγούμενα στάδια, περιγράψτε στο τετράδιο έναν τρόπο μέτρησης του εμβαδού ενός κυκλικού δίσκου με κανονικά πολύγωνα.

[size=150][b][color=#1155cc][br][br][br]K6. κάνοντας "peeling" στον κύκλο![/color][/b][/size][br][br]Στο δόμημα περιέχονται:[br][list][*]ένας κύκλος σταθερής ακτίνας R, με χρωματισμένο τον κυκλικό δίσκο.[/*][*]κουμπιά για την εκκίνηση, το σταμάτημα και την επαναφορά της εφαρμογής.[/*][*]δύο διακόπτες για την επαλήθευση ερωτημάτων. [/*][/list]

[size=85]Τim Brezinski - προσαρμογή & τροποποίηση: [b]e-arsakeio[/b][/size]

[size=150][b][color=#1155cc]Ερωτήματα[/color][/b][/size]

[b][color=#3c78d8]Περιγραφή του προβλήματος[/color][/b][br][br]Τετραγωνίζω τον κύκλο σημαίνει ότι κατασκευάζω, με γεωμετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει:να χρησιμοποιηθεί [b]μόνο κανόνας και διαβήτης[/b], προκειμένου η απόδειξη να ανάγεται πλήρως στα θεωρήματα του Ευκλείδη, και να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.

[b][color=#1e84cc]Ερμηνεία του προβλήματος μιας τέτοιας κατασκευής[/color][/b][br][br]Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο προαναφερόμενους περιορισμούς.[br][br]Η επίλυση του προβλήματος συνδέεται άμεσα με την υπερβατικότητα του αριθμού π: Αν κάποιος έχει καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο, σημαίνει ότι με κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει μία συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή για το π. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι εφικτό γιατί ο αριθμός π είναι υπερβατικός (δηλ. δεν μπορεί να είναι ρίζα κανενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές), οπότε δεν έχει συγκεκριμένη αλγεβρική τιμή. Πράγματι, το ενδιαφέρον για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου εξανεμίζεται το 1882, όταν ο [b]Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν[/b] (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε ότι [b]το π είναι υπερβατικός αριθμός.[/b][br]