Die Keplersche Fassregel dient zur näherungsweisen Berechnung eines bestimmten Integrals.[br][br]Keplersche Fassregel [math]\int_{a}^{b} f\left(x\right)dx\approx\frac{b-a}{6}\cdot\left(f\left(a\right)+4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right)[/math][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Weise mitilfe des CAS nach, dass die Keplersche Fassregel für Polynomfunktionen bis 3. Grades den exakten Wert des Integrals ergibt.[br]Erkläre anschaulich, warum der Flächeninhalt unter dem Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades durch den Flächeninhalt unter einer Parabel berechnet werden kann.

Warum die Kepler'sche Fassregel auch für Polynomfunktionen 3. Grades gilt, veranschaulicht das folgende Applet.[br]Eine Polynomfunktionen 3. Grades kann in einem beliebigen Intervall [a; b] durch eine Polynomfunktionen 2. Grades ersetzt werden, wobei der das Integral von a bis b dabei unverändert bleibt.[br]Und das Integral für diese Polynomfunktionen 2. Grades kann durch die Funktionswerte an den Stellen a, b und in der Mitte von a und b berechnet werden.

Die Kepler'sche Fassregel gilt für quadratische Funktionen nicht nur näherungsweise sondern ist eine exakte Berechnungsmöglichkeit.[br]Sei f auf [a; b] definiert und sei [math]m=\frac{a+b}{2}[/math] das arithmetische Mittel von a und b. Dann gilt[br][math]\int_a^b f\left(x\right)dx=\frac{b-a}{6}\cdot\left( f\left(a\right)+4f\left(m\right)+f\left(b\right)\right)[/math][br][br][b]Beweis[/b][br]Sei [math]f\left(x\right)=A\cdot x^2+B\cdot x+C[/math].[br][math]\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^b\left(A\cdot x^2+B\cdot x+C\right)dx=\left(A\cdot\frac{x^3}{3}+B\cdot\frac{x^2}{2}+C\cdot x\right) \Bigg|_a^b = \frac{A}{3} \cdot \left(b^3-a^3\right)+\frac{B}{2}\left(b^2-a^2\right) + C\cdot (b - a) =[/math][br] [math]=\frac{b-a}{6}\cdot\left(2A\cdot\left(b^2+ba+a^2\right)+3B\cdot\left(b+a\right)+6C\right)[/math][br]Aus [math]m=\frac{a+b}{2}[/math] folgt [math]2m=a+b[/math] und nach Quadrieren [math]ab=\frac{4m^2-a^2-b^2}{2}[/math]. [br]Damit ergibt sich für das Integral [br] [math]=\frac{b-a}{6}\cdot\left(2A\cdot\left(b^2+\frac{4m^2-a^2-b^2}{2}+a^2\right)+B\cdot\left(b+a\right)+2B\cdot\left(b+a\right)+6C\right)=[/math][br] [math]=\frac{b-a}{6}\cdot\left(2Ab^2+4Am^2-Aa^2-Ab^2+2Aa^2+Bb+Ba+4Bm+6C\right)=[/math][br] [math]=\frac{b-a}{6}\cdot\left(\left(A\cdot a^2+B\cdot a+C\right)+\left(4A\cdot m^2+4B\cdot m+4C\right)+\left(A\cdot b^2+4B\cdot b+C\right)\right)=[/math][br] [math]=\frac{b-a}{6}\cdot\left(f\left(a\right)+4\cdot f\left(m\right)+f\left(b\right)\right)[/math]