Egy függvény pontbeli folytonosságát a Cauchy-féle definícióval írtuk le:[br]Az [i]f[/i] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha tetszőleges [math]ε>0[/math]-hoz létezik olyan [math]δ>0[/math] melyre, ha [math]|x-x_0|<δ[/math], akkor [math]|f(x)-f(x_0)|<ε[/math].[br]Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.[br][br]Az interaktív alkalmazásban az adott függvény folytonosságát vizsgáljuk több különböző pontban.
Figyeld meg a függvény hozzárendelési szabályát, grafikonját!
Állítsd be [math]x_0[/math] értékét 0,5-re! [br]Határozd meg [math]x_0[/math] azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb [math]ε[/math]-nal térnek el [math]f(x_0)[/math]-tól![br]Állítsd be [math]ε[/math] értékét a panelen található csúszka segítségével 0,3; 0,1; 0,05 értékekre![br]Olvasd le a hozzájuk tartozó [math]δ[/math] értékeket!
Csökkentsd tovább [math]ε[/math] értékét![br]Igaz-e, hogy tetszőlegesen kicsi [math]ε>0[/math]-hoz találunk olyan [math]δ>0[/math] számot, melyre ha [i]x[/i] az [math]x_0[/math] –nak [math]δ[/math] sugarú környezetében van, akkor [math]f(x)[/math] az [math]f(x_0 )[/math]-nak [math]ε[/math] sugarú környezetébe esik?[br]Kísérletezz!
Mit mondhatunk az [i]f[/i] függvényről az [math]x_0=0,5[/math] pontban?
Állítsd be most [math]x_0[/math] értékét 1-re! Olvasd le a függvényértéket!
Legyen [math]ε=0,8[/math]![br]Határozd meg [math]x_0=1[/math]-nek azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb 0,8-del térnek el az 1,5-től!
Állítsd be [math]ε[/math] értékét 0,5-re vagy annál kisebb értékre! Mit tapasztalsz?[br]Mit mondhatunk az [math]f[/math] függvényről az [math]x_0=1[/math] helyen?[br]
Mit mondhatunk az egész függvényről?[br]
Válassz újabb [math]x_0[/math] értéket! Mit tapasztalsz?[br]
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.[br]Heine-féle definíció:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha bármely [math]\lim_{n\to\infty}x_n=x_0[/math] esetén [math]\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)[/math]