[b]4 Punkte in allgemeiner Lage und eine Tangente in einem der Punkte[/b] bestimmen eindeutig einen Kegelschnitt durch die 4 Punkte mit dieser Tangente.[br][br][u][i]Begründung:[/i][/u][br]Für Punkte [math]\mathbf{P}=(x,y)[/math] verwenden wir homogene Koordinaten [math]\mathbf\vec{p}=(x,y,1)[/math]. Verbindungsgeraden berechnen sich mit dem Kreuzprodukt: [math]\mathbf\vec{g}_{ij}=\mathbf\vec{p}_i\otimes\mathbf\vec{p}_j[/math], ein Punkt [math]\mathbf\vec{p}[/math] liegt auf einer Geraden [math]\mathbf\vec{g}=(a,b,c)[/math], wenn das Skalarprodukt [math]\mathbf\vec{g}\circ\mathbf\vec{p} = a\cdot x+b\cdot y+c[/math] Null ergibt. [br][br]Das Büschel von Kegelschnitten durch die 4 vorgegebene Punkte erhält man durch die quadratischen Formen [math]\lambda\cdot\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}+\mu\cdot\mathbf\vec{g}_{13}\vee \mathbf\vec{g}_{24}[/math] , ausgeschrieben mit [math]\mathbf\vec{p}=(x,y,1)[/math] und dem Skalarprodukt :[br][list][*][math]\left(\lambda\cdot\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}+\mu\cdot\mathbf\vec{g}_{13}\vee \mathbf\vec{g}_{24}\right)\; (\mathbf\vec{p},\mathbf\vec{p}) =\lambda\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{12}\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{g}_{34}\circ \mathbf\vec{p}\right)+\mu\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{13}\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{g}_{24}\circ \mathbf\vec{p}\right) [/math][br][/*][/list]Für die 4 Punkte [math] \mathbf\vec{p}_1,..,\mathbf\vec{p}_4[/math] ergibt sich, eingesetzt in die quadratische Form, Null.[br]Die Gerade [math]\mathbf\vec{g}=\mathbf\vec{p}_1\otimes \mathbf\vec{q}[/math] ist in [math]\mathbf\vec{p}_1[/math] Tangente, wenn [math]\left(\lambda\cdot\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}+\mu\cdot\mathbf\vec{g}_{13}\vee \mathbf\vec{g}_{24}\right)\; (\mathbf\vec{q},\mathbf\vec{p}_1)=0[/math] ist. Dazu muss man die Form symmetrisieren: beispielsweise ist [list][*][math]\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}\; (\mathbf\vec{q},\mathbf\vec{p}_1)= \frac{1}{2}\left(\left(\mathbf\vec{g}_{12}\circ\mathbf\vec{q}\right)\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{34}\circ\mathbf\vec{p}_1\right)+\left(\mathbf\vec{g}_{12}\circ\mathbf\vec{p}_1\right)\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{34}\circ\mathbf\vec{q}\right)\right)[/math] [/*][/list]Wenn man jetzt noch nutzt, dass, wieder beispielsweise [math]\mathbf\vec{g}_{12}\circ \mathbf\vec{p}_3=\mathbf\vec{p}_1\otimes \mathbf\vec{p}_2\circ\mathbf\vec{p}_3=\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}_3\right)[/math] ist, so erhält man die Kalkulation für [math]\lambda[/math] und [math]\mu[/math]: [br][list][*][math]\lambda=\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{q}\right)\cdot \mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}_4\right)[/math] und [math]\mu=-\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{q}\right)\cdot \mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{p}_4\right)[/math] .[/*][/list]Diese [math]\mu[/math]´s sind wieder [i][b]Plücker[/b][/i]sche [math]\mu[/math]'s (s. [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/PYQgGuuM]Blatt 1[/url]): [b]J. Plücker (1801 - 1868)[/b] hat die herausragende Bedeutung der Determinanten und Unterdeterminanten für geometrisches Kalkulieren herausgearbeitet.[br][size=85]Noch ein Beispiel, wo das oben genannte Kegelschnitt-Werkzeug gute Dienste leisten kann:[br]Die Winkelhalbierenden der Brennstrahlen, die von 2 Brennpunkten ausgehen und sich in einem Punkt treffen, sind Tangenten von Kegelschnitten. Da die 2 Brennpunkte 2 Spiegel-Achsen besitzen, haben die meisten Punkte 3 Spiegelbilder: 4 Punkte und eine Tangente ... siehe oben.[/size] [br][size=85]Üblicherweise sind die Winkelhalbierenden zweier Geraden [i]orthogonal[/i] (warum eigentlich?), daher schneiden sich konfokale Kegelschnitte, wenn sie sich schneiden, orthogonal![/size][br]

[size=50]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/size]