Ara, en el tetràedre que acabem de construir comprovarem "de manera guiada" les proposicions a què va arribar l'any 1983 el grup de cinc alumnes que van fer el treball de recerca. Per si pot interessar-vos, després d'aquesta explicació teniu dos applets que ja tenen feta la tasca que es demana.[br][br][b]Primera caracterització[/b][br]Veurem que "sorprenentment" (és bo tenir ganes de sorprendre's!) només pel fet d'haver construït una altura de manera que passi per l'ortocentre de la cara oposada, això mateix succeeix amb totes les altures.... i veurem també que les quatre altures concorren en un punt, l'ortocentre del tetràedre.[br][list][*]Ja tenim construïts l'ortocentre de la cara ABC i l'altura del tetràedre des del vèrtex D (perpendicular al pla ABC que passa per D) i ho hem fet de manera que aquesta recta passa per l'ortocentre de la cara. [br][/*][*]Construïu ara l'ortocentre de la cara BCD (recordeu que hem suggerit que tingueu disponible una macro que ho fa). Es tracta de veure que la recta que uneix el vèrtex A amb l'ortocentre de la cara BCD és l'altura del tetràedre o, recíprocament, que l'altura del tetràedre per A passa per l'ortocentre de la cara oposada. Com que el comandament [i]Relació entre dos objectes[/i] encara no està actiu en l'entorn 3D haurem de treballar una mica. Tanmateix tenim possibilitats diverses; no us oblideu del comandament [i]Angle[,][/i]. Una vegada construïda l'altura, podeu constatar que talla l'altura sobre la cara ABC que ens ha servit per a construir el tetràedre...i així anem comprovant que realment és un tetràedre ortocèntric.[/*][*]Podeu fer el mateix amb les altures sobre les altres dues cares ABD i ACD. [br][/*][*]Comproveu que el punt de tall, per parelles, de les altures és sempre el mateix: [b]l'ortocentre del tetràedre![/b] [br][/*][/list][b][br]Segona caracterització[/b][br]El GeoGebra us permet comprovar que en aquest tetràedre que heu construït les tres parelles d'arestes oposades són ortogonals. Ho podeu fer, per exemple, amb el comandament [i]Angle[<vector,vector>][/i]. [br][br][list][*]Aquesta és una altra condició que caracteritza els tetràedres ortocèntrics que es presentava en el treball que estem comentant. Tanmateix la construcció d'un tetràedre amb els tres parells d'arestes oposades ortogonals per a obtenir un tetràedre ortocèntric no és tan àgil com la que hem vist.[/*][*] Ara bé, és important comentar que una reflexió sobre aquesta propietat ens permet trobar tres plans que determinen l'ortocentre (una de les idees interessants del treball que es comenta). Efectivament, cada pla que passa per una aresta i és perpendicular a l'aresta oposada (que existeix per la condició d'ortogonalitat) conté dues altures del tetràedre. Si fem la intersecció de tres d'aquests plans adequats... ja tindrem l'ortocentre![br][/*][*]Com a propietat per a investigar us deixem la següent. Si en un tetràedre no hi ha cap parella d'arestes oposades ortogonals, cap parella d'altures es tallen. Si en un tetràedre hi ha un parell d'arestes oposades ortogonals, aleshores les altures del tetràedre es tallen per parelles (més avall en teniu un applet d'exemple). Si en un tetràedre hi ha dues parelles d'arestes oposades ortogonals aleshores ja ho són totes tres i ja tenim estudiat el tema, el tetràedre és ortocèntric.[br][/*][/list][br][br][b]Caracterització: condició necessària i suficient[/b][br]La investigació amb el GeoGebra ens permet comprovar les condicions que hem enunciat. Tanmateix no hem demostrat amb tot rigor que les condicions siguin necessàries i suficients perquè el tetràedre sigui ortocèntric. Per tant, potser no en el taller però sí "a casa", recomanem la lectura de les demostracions sintètiques que es van fer d'aquestes propietats. Així es constata que l'ús de les eines informàtiques va ajudar a la investigació (aleshores un programa BASIC; ara amb molta és eficàcia el GeoGebra) i es va inserir en el camí que porta de la investigació empírica, a la conjectura, a la comprovació, a la demostració.[br]