La trasformazione più semplice del sistema di riferimento è la traslazione, ovvero uno spostamento rigido degli assi, senza cambiamento della loro inclinazione. [br][br]Studiare un elemento da più sistemi di riferimento può creare della confusione, quindi è necessario definire in modo chiaro gli elementi che sono coinvolti nel nostro discorso.[br][br]Consideriamo un nuovo sistema di riferimento [u][b]traslato[/b][/u] rispetto al primo. [color=#ff0000]Usiamo un apice - cioè un [b]'[/b] - ed il colore rosso per indicare tutto quello che si riferisce al nuovo sistema[/color].[br][br][b][color=#000000]L'origine del nuovo sistema[/color][/b] è nel punto [math]O'[/math], di coordinate [math]O'\left(x_{O\ '}, y_{O\ '}\right)[/math].[br][br]Un qualsiasi punto [math]P[/math] ha coordinate [math]P\left(x_P,y_P\right)[/math] nel vecchio sistema. [br][color=#ff0000]Lo stesso punto P, nel nuovo sistema, avrà coordinate[/color] [math]\textcolor{red}{P\left(x_P',y_P'\right)}[/math].[br][br]Nella seguente animazione vogliamo trovare la relazione che c'è tra[list][*][math]x_P[/math] e [math]y_P[/math], le coordinate di P nel vecchio sistema[/*][*][math]\textcolor{red}{x'_P}[/math] e [math]\textcolor{red}{y'_P}[/math], [color=#ff0000]le nuove coordinate[/color] di P [color=#ff0000]nel nuovo sistema[/color][/*] [/list]

Facciamo il punto della situazione. [b]Se sono nel sistema nero e voglio ottenere le "mie" coordinate del punto P[/b], ho trovato che le ottengo grazie alle seguenti leggi di trasformazione:[br][br][math]\Large{\begin{cases}x_P = x_{O'} + \textcolor{red}{x'_P}\\ y_P = y_{O'} + \textcolor{red}{y'_P} \end{cases}\qquad \qquad (1.1)}[/math][br][br]Cioè le "mie" coordinate di P si ottengono sommando le coordinate che IO* attribuisco alla "altra" origine e [color=#ff0000]le coordinate di P viste dagli "altri"[/color]. [br][br]* Nota che [math]\large{x_{O'}\ e\ y_{O'}}[/math] sono le coordinate della "altra" origine secondo il MIO punto di vista: dal "loro" punto di vista la loro origine è [math]\large{\textcolor{red}{O'(0,0)}}[/math], cioè al centro del "loro" mondo![br][br]Ovviamente posso invertire queste formule se voglio ricavare, ad esempio, le coordinate di P dal punto di vista degli altri:[br][br][math]\Large{\begin{cases}\textcolor{red}{x'_P} = x_P - x_{O'} \\ \textcolor{red}{y'_P} = y_P - y_{O'} \end{cases}\qquad \qquad (1.2)}[/math][br][br]Vediamo nell'esempio qui sotto un'applicazione della formula.[br][color=#ff0000][size=200][size=150]LE COORDINATE DI UN PUNTO VISTO DA UN SISTEMA TRASLATO[br][/size][/size][/color]Partiamo da un esempio semplice, considerando un punto e chiedendoci quali coordinate abbia in un altro sistema di riferimento traslato rispetto al primo.

[size=150][color=#ff0000]EQUAZIONI DI CURVE VISTE DA UN ALTRO SISTEMA[/color][/size][br]Vediamo ora che, analogamente a quanto visto con le traslazioni degli oggetti, quando lavoriamo[b] con delle curve[/b], ad esempio con delle rette, [b]ci servono le leggi di trasformazione che indicano le coordinate di partenza (cioè quelle del sistema in cui ci è data la curva)[/b], in modo da poterle sostituire nell'equazione che abbiamo e far comparire al loro posto quelle nuove.[br]

Abbiamo imparato come ottenere l'equazione di una curva in un sistema traslato. Vediamo come possiamo utilizzare questa tecnica per ottenere un [b]metodo alternativo per traslare una curva traslata[/b]. [br][br]Vogliamo traslare un'ellisse. Per farlo procediamo in questo modo: [br][list][*]creiamo l'ellisse desiderata [b]centrandola nel sistema[/b], in modo da definire la sua equazione nella forma più semplice possibile.[/*][*]definiamo un nuovo sistema applicando la traslazione inversa a quella desiderata: infatti se muoviamo il sistema di riferimento (cioè il nostro punto di osservazione) a destra esso "vedrà" l'ellisse spostata a sinistra, se lo spostiamo in basso vedremo l'ellisse "alzata" e così via.[/*][*]definiamo le trasformazioni associate al nuovo sistema e sostituiamo. [/*][/list][br][b][color=#ff0000]Attenzione[/color][/b]: è importante ricordare che se per un'equazione è sufficiente [b]sostituire [/b]le espressioni traslate del coordinate del sistema in cui l'abbiamo definita, per un punto è necessario [b]applicare [/b]tale trasformazione, e quindi dovremo prima invertirle.

[b]UN METODO ALTERNATIVO[/b][br]Vediamo ora un metodo alternativo per ottenere lo stesso risultato, che è utile conoscere per altri tipi di trasformazioni (ad esempio le rotazioni):[br][list=1][*]consideriamo l'ellisse [b]nella posizione già traslata [/b]e creiamo il nuovo sistema di riferimento traslato in cui l'ellisse proposta è particolarmente comoda da descrivere, [/*][*]dato che l'ellisse è espressa nelle coordinate traslate, per ottenere la sua equazione nel sistema originale dovremo [b][color=#ff0000]invertire le equazioni[/color][/b] di trasformazione per ottenere le coordinate "traslate" [color=#ff0000][b]e sostituirle[/b][/color]. [/*][/list][br]Da notare di nuovo quanto accade per i fuochi: anch'essi li otteniamo nel sistema "rosso", perchè è più comodo, ma per ottenere le loro coordinate nel sistema nero [b]basta applicare le trasformazioni dirette[/b]. qui non dobbiamo [i]sostituire[/i] ma semplicemente [i]applicare[/i], quindi non invertiamo.

[size=150][color=#ff0000]TRASLAZIONE DI UN OGGETTO E CAMBIO DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO: STESSA COSA![br][/color][/size]Come anticipato nel paragrafo precedente, [b]osservare un oggetto da un sistema di riferimento traslato[/b] può essere [b]un altro modo per "vedere" quell'oggetto traslato nel piano in direzione opposta[/b]. Infatti se osservo un oggetto e mi muovo di due passi [b]indietro[/b], è come se vedessi l'oggetto spostarsi in [b]avanti[/b].[br][br]Poter affrontare il problema da entrambi i punti di vista può essere utile per risolvere ogni caso nel modo di volta in volta più semplice. Vediamo nella prossima animazione l'equivalenza dei due approcci.

[size=150][color=#0000ff]APPENDICE: QUESTIONE DI PUNTI DI VISTA[/color][/size][br]Riprendiamo l'esempio delle coordinate del punto viste dal sistema traslato per approfondire un altro aspetto.[br][br][b]Ora che abbiamo le coordinate rosse [math]P\left(-1,3\right)[/math], vogliamo fare una verifica: torniamo indietro al sistema nero e vogliamo riottenere i numeri originali.[/b][br][br]Abbiamo due possibilità: [br][b][color=#000000]1) possiamo usare le formule dirette del sistema nero[/color][/b]:[br][br][math]\left\{\begin{array}{l}x=2+\textcolor{red}{x'}\\y=1+\textcolor{red}{y'}\end{array}\right.[/math][br][br]sostuendo le coordinate rosse otteniamo[br][br][math]\left\{\begin{array}{ccl}x=2+\textcolor{red}{-1}\rightarrow\ \ x=1\\y=1+\textcolor{red}{3}\rightarrow\ \ y=4\end{array}\right.[/math][br][br]Abbiamo ottenuto di nuovo le coordinate [math]P\left(1,4\right)[/math], quindi abbiamo applicato correttamente le trasformazioni[br][br][color=#ff0000][b]2) Dal punto di vista dei "rossi" è il sistema nero ad essere traslato, in particolare verso sinistra e verso il basso[/b][/color]. Non è un caso se ad un certo punto abbiamo parlato di "nostro" e "loro" sistema di riferimento: non esiste un sistema che è al centro e gli altri che sono traslati: è un discorso relativo in cui ognuno vede se stesso al centro e gli altri "spostati" dal "vero" centro. Ma quello che abbiamo detto sopra, partendo dall'idea che il sistema nero fosse quello "giusto" e quello rosso fosse quello "traslato", vale anche se invertiamo le parti e consideriamo quello rosso come sistema di partenza e quello nero traslato. In effetti entrambi le posizioni sono corrette, a patto di ricordarsi che nessuno è traslato in assoluto, ma è traslato [i][b]rispetto all'altro[/b][/i].[br][br][b]Ogni sistema si crede al centro del mondo![/b] (Un po' come le persone...) [br][br]In particolare se rivediamo l'intera storia dal punto di vista dei rossi, il centro nero [math]O[/math] nel loro sistema ha coordinate [math]\textcolor{red}{O\left(-3, -2\right)}[/math].[br][br]La regola che abbiamo trovato prima, cioè:[br][br][i][color=#0000ff]Le "mie" coordinate di P si ottengono sommando le coordinate che IO* attribuisco alla "altra" origine e le coordinate di P viste dagli "altri". [/color][/i][br][br]Dal punto di vista dei rossi la corrispondente dell'equazione [math]\large{(1.1)}[/math] diventa quindi:[br][br][math]\Large{\begin{cases}\textcolor{red}{x'_P} = \textcolor{red}{x_O} + x_P \\ \textcolor{red}{y'_P} = \textcolor{red}{y_O} + y_P \end{cases}\qquad \qquad (2.1)}[/math][br][br][br]Vediamo come si svolge la stessa storia vista dal punto di vista del sistema rosso...[br]

Concludiamo notando che le coordinate di [math]O[/math] secondo i rossi sono esattamente le coordinate opposte a quelle che i neri attribuiscono ad [math]O'[/math] (infatti se per i neri [math]O'[/math] è tre quadretti a destra, per i rossi [math]O[/math] sarà tre quadretti a sinistra e così via). [br][br]In altre parole abbiamo che[br][br][math]\large{\begin{array}{ll} \textcolor{red}{x_O} = -x_{O'} \\ \textcolor{red}{y_O} = -y_{O'} \end{array}}[/math][br][br]Se teniamo conto di questo, ci accorgiamo che le formule dirette "dei rossi", le [math]\large{(2.1)}[/math] , coincidono esattamente con le inverse dei neri, cioè le formule [math]\large{(1.2)}[/math].