Legyen adott a P-modellen egy [i]s [/i]kör ( [i]P [/i]középpontjával és egykerületi pontjával), valamint egy [i]a[/i] egyenes! Szerkesszük meg az [i]a[/i]-ra merőleges, az [i]s[/i] kört érintő egyeneseket!

Ez a feladat az euklideszi geometriában – ahol a [i]P[/i] ponton át csak egy [i]a[/i]-val párhuzamos egyenes húzható,[br]semmi nehézséget nem okozna. Most viszont a feladat bonyolultsága indokolja, hogy a klasszikus [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3lya_Gy%C3%B6rgy]Pólya féle gondolatmenet[/url]et követve először tekintsük megoldottnak a feladatot.[br][br]Vegyük fel az adott[i] s [/i]kör egy tetszőleges E[sub]A [/sub]pontjába húzott[sub] [/sub] [i]e[sub]a[/sub][/i] érintőjét, ezen egy tetszőleges [i]A[/i] pontot, majd azt az [i]A[/i]-ra illeszkedő, [i]e[sub]a[/sub] [/i]-ra merőleges [i]a[/i] egyenest, amely majd a szerkesztésünk másik adata lesz. [br]Legyen [i]T[/i] a kör középpontjának az [i]a[/i]-ra eső merőleges vetülete.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/S2jQXYG3]Bolyai szerkesztését felidézve[/url] könnyen észrevehetjük, hogy egy Lambert-négyszöget szerkesztettünk: a [i]PE[sub]A[/sub]AT[/i] négyszögnek három szöge derékszög.

Jelen esetben először a [i]P[/i] kör középpont [i]a[/i]-ra eső merőleges vetületét, [i]T[/i]-t , majd az [i]s[/i] kör és az adott [i]a [/i]egyenessel aszimptotikusan párhuzamos [i][P,V[sub]1[/sub]) [/i]félegyenes metszéspontjaként kapott [i]A[/i][sub]0 [/sub]pontot kell megszerkesztenünk. Ennek a ([i]PT)[/i]-re eső merőleges vetülete legyen [i]T[/i][sub]0 [/sub]![br]Innen két irányban folytatható a szerkesztés:[br]      [br][list][*]Az s kör kör és a [i][PV[sub]0[/sub])[/i][sub] [/sub]félegyenes metszéspontjaként kapjuk meg az [i]E[sub]A[/sub][/i] érintési pontot, ahol [i]V[sub]0[/sub][/i] az [i](A[sub]0[/sub]T[sub]0[/sub])[/i] egyenes végtelen távoli pontja. [br]Ekkor meg kell mutatnunk, hogy az [i]s[/i] körhöz [i]E[sub]A [/sub][/i]pontba húzott [i]e[sub]A[/sub] [/i]éritnő merőleges [i]a[/i]-ra.[br]    [/*][*]Legyen [i]A[/i] az [i]A[/i][sub]0 [/sub]pontnak a [i]T[sub]0[/sub]T[/i] szakasz felező merőlegesére vonatkozó tükörképe, [i]e[sub]A[/sub][/i] az [i]A[/i]-ból [i]a[/i]-ra bocsátott merőleges! Ekkor azt kell megmutatnunk, hogy [i]e[sub]A[/sub][/i] érinti az [i]s [/i]kört[b], [/b]vagyis [i]P[/i]-nek az [i]e[sub]A[/sub][/i]-ra eső merőleges vetülete illeszkedik az [i]s[/i] körre. [/*][/list]

Mint tudjuk a [b]HKör() [/b]saját eljárás arra is alkalmas, hogy kör helyett paraciklust rajzoljunk, amennyiben a kör középpontja végtelen távoli pont.[br][br]A fenti eljárás paraciklusra nem alkalmazható. Viszont elkövettünk egy kegyes[b][color=#ff0000] (??)[/color][/b] csalást: a kör középpontját az [b]O=BelsőPont(Kör((0,0),9.999)) [/b]utasítással megadva gondoskodtunk arról, hogy az adott kör ne váljék paraciklussá, csak - látszólag jól - közelítse azt meg. Ezúttal kérünk elnézést olvasóinktól.[br][br]Ugyanezt a galádságot [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/gneujdvn]itt, ebben a szerkesztésben[/url] szintén elkövettük. Mentségünkre szolgál, hogy ezek a paraciklusokra vonatkozó szerkesztések korrekt adatokkal külön, önállóan elvégezhetők. Ezt a feladatot igényesebb olvasóinkra bízzuk.