[b][u][size=150]Οδηγίες για τη δραστηριότητα[/size][/u][/b][br][br]Επίλεξε το κουτί : «Γραφική παράσταση της –f(x)» και ακολούθησε τις οδηγίες (κλικ στο αντίστοιχο κουτί),[br]για να εκτελέσεις τη δραστηριότητα.[br][br]Επίλεξε το κουτί : «Γραφική παράσταση της |f(x)|»  και ακολούθησε τις οδηγίες (κλικ στο αντίστοιχο κουτί), για να εκτελέσεις τη δραστηριότητα.[br][br]Κάνοντας κλικ στο κουμπί στην κάτω αριστερή γωνία, δίνεις κίνηση στο σημείο Μ και με κλικ ξανά σταματάς την κίνηση.[br][br]Μπορείς να αλλάξεις τη μορφή της συνάρτησης αλλάζοντας τις τιμές των δύο κατακόρυφων δρομέων [br]στο κάτω αριστερό μέρος της εφαρμογής (είτε σύροντάς τους με το ποντίκι σου, είτε επιλέγοντάς τους με αριστερό κλικ και χρησιμοποιώντας τα πλήκτρα κατεύθυνσης του πληκτρολογίου σου). [br][br]Με το κουμπί "Σβήσε τα ίχνη" καθαρίζεις το παράθυρο από τα ίχνη που έχουν δημιουργηθεί.

[b][u][color=#0000ff][size=150]Αρχική οδηγία: [br][/size][/color][/u][/b]Για να αλλάξεις τις τιμές ενός δρομέα, είτε τον σύρεις με το ποντίκι σου, είτε τον επιλέγεις με αριστερό κλικ και χρησιμοποιείς τα πλήκτρα κατεύθυνσης του πληκτρολογίου (τα βελάκια).[br]Κάνοντας κλικ στα κουτιά  «Θεώρημα Bolzano» και  «Δείξε τη συνάρτηση» μπορείς να θυμηθείς το θεώρημα. Αποεπίλεξε το κουτί  «Θεώρημα Bolzano» για να συνεχίσεις.[br][br][b][color=#ff0000]Έναρξη δραστηριότητας[/color][/b][br][list=1][*]Αρχικά, δίνεται μία προεπιλεγμένη συνάρτηση και ένα προεπιλεγμένο διάστημα [α, β].[br]Μπορείς να αλλάζεις τις τιμές των α, β με τους αντίστοιχους δρομείς.[/*][*]Με το δρομέα x[sub]0[/sub]  αλλάζεις τη θέση του σημείου Α της γραφικής παράστασης της f, οπότε έχεις τη δυνατότητα να βλέπεις τις αντίστοιχες τιμές της.[br][/*][*]Παρατηρώντας τη δοσμένη γραφική παράσταση και αφού πειραματιστείς με τις θέσεις του [br]σημείου Α, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:[/*][/list]

[b][size=150][color=#ff0000]Δραστηριότητα - Β΄ μέρος[/color][/size][/b]    [br]Επίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου συνάρτησης» και στη συνέχεια κάνε κλικ στο κουμπί «Συνάρτηση 2».[br]Αποεπίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου συνάρτησης».[br][br]Παρατηρώντας τη δοσμένη γραφική παράσταση και αφού πειραματιστείς με τις θέσεις του σημείου Α, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:[br][br][list=1][*][i][b]Για τη συνάρτηση που βλέπεις εφαρμόζεται το Θ. Bolzano στο διάστημα [-1, 1]; Γιατί; [br][br][/b][/i][/*][*][b][i]Πόσες ρίζες έχει η f στο διάστημα (-1,1);[/i][/b][/*][/list][br]Επίλεξε το κουμπί «Αλλαγή συνάρτησης» και απάντησε πάλι στα ίδια ερωτήματα.

[color=#0000ff][b][u][i][size=150]Συμπέρασμα:[/size][/i][/u][/b][/color]  [br][b][size=150]Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι  f(α)f(β)<0, αλλά δεν είναι συνεχής στο [α, β], [br]τότε δεν μπορούμε να ξέρουμε αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει ή όχι ρίζα στο (α, β).[/size][/b]

[color=#ff0000][b][size=150]Δραστηριότητα - Γ΄ μέρος[/size][/b][/color][br]Επίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου συνάρτησης» και στη συνέχεια κάνε κλικ στο κουμπί «Συνάρτηση 3».[br][br]Αποεπίλεξε το κουτί «Επιλογή τύπου συνάρτησης».[br][br]Παρατηρώντας τη δοσμένη γραφική παράσταση και αφού πειραματιστείς με τις θέσεις του σημείου Α, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:

[color=#0000ff][b][u][i][size=150]Συμπέρασμα:[/size][/i][/u][/b][/color]  [br][b][size=150]Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι είναι συνεχής στο [α, β] αλλά  f(α)f(β) ≥ 0, [br]τότε δεν μπορούμε να ξέρουμε αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει ή όχι ρίζα στο (α, β).[/size][/b]

[size=150][b][u][color=#0000ff]Αρχικές οδηγίες[/color][/u][/b][/size][br][br]Στη δραστηριότητα δίνεται μία προεπιλεγμένη συνάρτηση f και ένα σημείο Α(x[sub]0[/sub] , f(x[sub]0[/sub])) τής γραφικής της παράστασης.[br]Μέσω του αντίστοιχου δρομέα x[sub]0[/sub] (αριστερή πάνω γωνία της εφαρμογής) μπορούμε να αλλάζουμε τη θέση του σημείου Α πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.[br][i](Οι τιμές του δρομέα αλλάζουν είτε σύροντας με το ποντίκι είτε επιλέγοντάς τον με αριστερό κλικ και χρησιμοποιώντας τα πλήκτρα κατεύθυνσης (βελάκια) του πληκτρολογίου).[/i]

[b][color=#ff0000][size=150]Έναρξη δραστηριότητας[/size][/color][/b][br][br]1. Επίλεξε το κουτί «Ευθεία από το Α». Εμφανίζεται μία τυχαία ευθεία που διέρχεται από το Α, [br] την οποία μπορείς να περιστρέφεις από το «πράσινο σημείο».[br] Αφού πειραματιστείς με διάφορες θέσεις αυτής της ευθείας, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:[br][br][list][*]Αν μία ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε είναι βέβαιο ότι είναι εφαπτομένη;[br][br][/*][*]Η εφαπτομένη σε κάποιο σημείο της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f έχει πάντα ένα μόνο κοινό σημείο με αυτήν; [/*][/list][br][b][i]ΣΧΟΛΙΟ: [br]Τα συμπεράσματα αυτά μας οδήγησαν στην αναγκαιότητα δημιουργίας ενός ορισμού για την εφαπτομένη σε σημείο συνάρτησης.[/i][/b]

2.  Δώσε στον δρομέα την τιμή x[sub]0[/sub] = 0, οπότε έχεις το σημείο A(0,f(0)).[br] Επίλεξε το κουτί «Εμφάνιση Στοιχείων», οπότε εμφανίζεται ένα μεταβλητό σημείο M(x,f(x)) της [br] γραφικής παράστασης της f  δεξιά του x[sub]0[/sub]  και  ένα, επίσης μεταβλητό, σημείο N(x,f(x)) αριστερά του x[sub]0[/sub].[br] Επιπλέον εμφανίζονται και οι ημιευθείες ΑΜ, ΑΝ. [br][br][b][i] Με τους δρομείς [/i][/b][b][i]h[/i][/b][b][i][sub]1[/sub][/i][/b][b][i]  και  [/i][/b][b][i]h[/i][/b][b][i][sub]2[/sub][/i][/b][b][i]  μετακινούνται τα σημεία Μ , Ν αντίστοιχα.[br][/i][/b] Με τα κουμπιά «κίνηση Μ» και «κίνηση Ν» κάνεις τα σημεία Μ, Ν να «κινηθούν» προς το Α. [br][br][i] [u]Ερώτημα :[/u] Με τι ισούται ο συντελεστής διεύθυνσης κάθε ημιευθείας; [br][/i][br] Επίλεξε τα κουτιά «Εμφάνιση κλίσεων» , «Κλίση ΑΜ» και «Κλίση ΑΝ» για να εμφανίσεις τις [br] αντίστοιχες κλίσεις. [br][br]3. Άλλαξε τις τιμές του δρομέα  [b]h[sub]2[/sub] [/b](εναλλακτικά κάνε κλικ στο κουμπί «κίνηση Ν»). [br] Παρατήρησε ότι το σημείο Ν πλησιάζει προς το σημείο Α. Πώς εκφράζεται η κίνηση αυτή με [br] μαθηματικό τρόπο;     « το σημείο Ν πλησιάζει στο Α» : [math]x\longrightarrow x_0^-[/math][br] Η ημιευθεία ΑΝ τείνει να πάρει μία «οριακή θέση» [b]η[sub]2[/sub][/b]. Τι συντελεστή διεύθυνσης θα έχει η [br] ημιευθεία [b]η[sub]2[/sub][/b] ;[br][br]4. Συνέχισε με ανάλογο τρόπο μεταβάλλοντας το σημείο Μ. Πώς εκφράζεται η κίνηση του Μ προς [br] το Α με μαθηματικό τρόπο;       « το σημείο Μ πλησιάζει στο Α» : [math]x\longrightarrow x_0^+[/math]    [br] Η ημιευθεία ΑΜ τείνει να πάρει μία «οριακή θέση» [b]η[sub]1[/sub][/b]. Τι συντελεστή διεύθυνσης θα έχει η [b]η[sub]1[/sub][/b]; [br][br]5. Κάνε κλικ και στο κουτί «Γωνία ΑΜ, ΑΝ». Με βάση τις παρατηρήσεις σου, απάντησε στα [br] ακόλουθα ερωτήματα:[br][br][i] α)  Τι παρατηρείς για τη  [/i]γωνία που σχηματίζουν οι ημιευθείες ΑΜ , ΑΝ ;[br] (εμφάνισε την αντίστοιχη γωνία  )[br][i][br] β) Πώς λέγονται σε αυτή την περίπτωση οι ημιευθείες  [/i][b]η[sub]1[/sub][/b], [b]η[sub]2[/sub][/b] ;[br][br] γ) Ποια θα είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α και με τι θα ισούται [br] ο συντελεστής διεύθυνσής της; [br] (κάνε κλικ στο κουτί «Εφαπτομένη» για επαλήθευση των συμπερασμάτων σου)

6. Αποεπίλεξε το κουτί «Εμφάνιση Στοιχείων» για να επιστρέψεις στην αρχική θέση και με τον αντίστοιχο δρομέα x[sub]0[/sub]  μετακίνησε το σημείο Α στη θέση Α(1,f(1)).[br][br][b][i] Επανάλαβε την προηγούμενη διαδικασία των προηγούμενων βημάτων.[/i][/b][br] Με βάση τις παρατηρήσεις σου, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:[br][br][list][*]Υπάρχει εφαπτομένη στο σημείο Α; [br][/*][*]Μπορείς να εξηγήσεις γιατί;  [br][/*][*]Μπορείς να ερμηνεύσεις το παραπάνω συμπέρασμα με μαθηματικό ( αλγεβρικό ) τρόπο;[/*][/list]

[b][i][u][color=#0000ff][size=150]Γενικά συμπεράσματα[/size][/color][/u][/i][/b][br][list][*]Ποια είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε να υπάρχει ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης σε ένα σημείο A(x[sub]0[/sub] , f(x[sub]0[/sub])) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;[br][br][/*][*]Με τι ισούται ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης σε ένα σημείο A(x[sub]0[/sub] , f(x[sub]0[/sub])) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;[br][br][/*][*]Σε ποια περίπτωση δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την εφαπτομένη σε ένα σημείο A(x[sub]0[/sub] , f(x[sub]0[/sub])) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f;[/*][/list][br][i]Κάνε κλικ στο κουτί «Εφαπτομένη» ώστε να εμφανίσεις την εφαπτομένη στο Α και μεταβάλλοντας τη θέση του σημείου Α με τον αντίστοιχο δρομέα, απάντησε στα ακόλουθα ερωτήματα:[br][/i] [list][*]Πώς μπορούμε «οπτικά» να καταλάβουμε αν, σε κάποιο σημείο της γραφικής παράστασης μιας [br] συνάρτησης f, υπάρχει εφαπτομένη;[br][br][/*][*]Υπάρχει περίπτωση η εφαπτομένη μίας συνάρτησης να έχει περισσότερα από ένα κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης;[br][br][/*][*]Υπάρχει περίπτωση η εφαπτομένη μίας συνάρτησης να «διαπερνά» τη γραφική της παράσταση στο σημείο επαφής;[br][/*][/list]

[size=150][b][color=#ff0000]Προαιρετική δραστηριότητα[/color][/b][/size][br][br]1. Αποεπίλεξε το κουτί «Εμφάνιση Στοιχείων», επίλεξε το κουτί «επιλογή τύπου συνάρτησης» και κάνε[br] κλικ στο κουμπί «Συνάρτηση 5».[br] Αποεπίλεξε το κουτί «επιλογή τύπου συνάρτησης», τοποθέτησε με τον αντίστοιχο δρομέα το σημείο [br] Α στη θέση Α(1,f(1)) και επανάλαβε όλη την προηγούμενη διαδικασία.[br][br][i] Τι παρατηρείς για την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α; [br][br] Τι συμβαίνει με το όριο [math]lim_{x\longrightarrow x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math] σε αυτή την περίπτωση;[/i][br][code][/code][br]2. Αποεπίλεξε το κουτί «Εμφάνιση Στοιχείων», επίλεξε το κουτί «επιλογή τύπου συνάρτησης» και κάνε[br] κλικ στο κουμπί «Συνάρτηση 3».[br] Αποεπίλεξε το κουτί «επιλογή τύπου συνάρτησης» και τοποθέτησε με τον αντίστοιχο δρομέα το[br] σημείο Α στη θέση A(1,f(1)).[br][br][b][i] Μπορείς να εκτιμήσεις αν στο Α υπάρχει εφαπτομένη;[br][/i][/b][br] Κάνε κλικ στα κουτιά «Εμφάνιση Στοιχείων» και «Εφαπτομένη» για να επαληθεύσεις την εκτίμησή σου.[br][br] Με τα κουμπιά “Zoom In» και «Zoom Out» μπορείς να μεγεθύνεις την περιοχή του σημείου Α όσο θέλεις[br] για να «δεις» τι συμβαίνει.[br][br] [b]Συμπέρασμα :[br][/b][i] Η παρατήρηση μας οδηγεί μερικές φορές σε συμπεράσματα τα οποία είναι είτε εσφαλμένα είτε αμφισβητούμενα, συνεπώς, ο μόνος ασφαλής τρόπος για να ελέγξουμε την αλήθεια τους, είναι μέσω[br]αυστηρής απόδειξης. [/i]

[b][size=150][color=#ff0000]Δραστηριότητα 1[/color][/size][br][br][/b]Στην εφαρμογή δίνεται μία προεπιλεγμένη συνάρτηση f. [i]Αρχικά ακολούθησε τα ακόλουθα βήματα[/i]:[br][br][list][*]Επίλεξε το κουτί «Έναρξη» και στα αντίστοιχα πλαίσια επίλεξε τα άκρα ολοκλήρωσης α, β που θέλεις (αρχικά άφησε τις τιμές α = -1, β = 2).[br][br][/*][*]Επίλεξε το κουτί «Διαμέριση» για να  διαιρέσεις το [α,β] σε ν ίσα υποδιαστήματα. [br]Οι τιμές του [b]ν[/b] αλλάζουν με τον πράσινο μετρητή (επίλεξέ τον με το ποντίκι σου και άλλαξε τις τιμές του με τα πλήκτρα κατεύθυνσης του πληκτρολογίου ή κάνε κλικ στο κουμπί «κίνηση».[br]Με τον δρομέα «speed» μπορείς να επιλέξεις την ταχύτητα με την οποία κινείται το ν).[br][br][/*][*]Επίλεξε ν = 1 και στη συνέχεια επίλεξε το κουτί «ενδιάμεσα σημεία» για να εμφανίσεις τα ξ[sub]κ[/sub].[br][br][/*][*]Επίλεξε διαδοχικά τα κουτιά «εμφάνιση υψών» και «ορθογώνια» για να δεις γραφικά τα γινόμενα [br]f(ξ[sub]κ[/sub])Δx.[br][br][/*][*]Επίλεξε το κουτί «Μετρήσεις» για να εμφανιστούν οι σχετικοί υπολογισμοί.[/*][/list][br][b][i]Άλλαξε τις τιμές του ν και παρατήρησε τι συμβαίνει.[/i][/b][br][br]Για τη συνάρτηση f,  συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα (φρόντισε σε κάθε περίπτωση να είναι [br]ν = 1000).[br]Ως [b]Ω[/b] θεωρούμε το χωρίο που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α, x = β.

[size=150][b][i][color=#0000ff]Επανάλαβε την ίδια διαδικασία και με τις υπόλοιπες συναρτήσεις της εφαρμογής, σημειώνοντας τα τελικά συμπεράσματά σου.[/color][/i][/b][/size][br]Επίλεξε το κουτί «επιλογή τύπου» και σύρε με το ποντίκι σου τον μωβ δρομέα στη θέση [br]«2η συνάρτηση», «3η συνάρτηση», «4η συνάρτηση».