[justify]A Geometria Plana estuda os pontos e os conjuntos de pontos (reta, semi-reta, segmento, plano, círculo, circunferência e/ou as figuras geométricas planas).[br][/justify][justify]A linguagem LÓGICA é usada nos textos matemáticos, assim ocorre o emprego contínuo de [u]conceitos[/u] que por sua vez, os consideramos conhecidos depois que são [b][i]definidos[/i][/b] e as suas [u]propriedades[/u] são consideradas verdadeiras depois que [b][i]demonstradas[/i][/b].[br][br]Todavia, se faz necessário estabelecer um início conceitual, no qual se constrói todo o conhecimento da Geometria Plana. Logo, adotamos alguns conceitos [b][i]sem definição[/i][/b], ou seja, os CONCEITOS PRIMITIVOS, onde todos os outros, a partir deles, são definidos. Isso é necessário para que essa teoria tenha uma finalidade prática, onde pela simplicidade dos conceitos primitivos, todas as pessoas possam ter o mesmo significado, sem que façam definição.[br][br][b][i]O PONTO[/i][/b] é um conceito fundamental da Geometria Plana, de onde todos os demais entes se derivam, ou seja: a reta, a semi-reta, o segmento, o plano. o círculo, a circunferência e/ou as figuras geométricas planas.[br][br]Você já imaginou um ponto? Como é um ponto? Podemos fazer um Ponto? Na realidade, nós construímos representações de ponto ou de um ponto. Observe:[/justify]

É importante ter em mente que a ideia de ponto [i][b]NÃO PODE SER MATERIALIZADA[/b][/i], ou seja, o ponto não tem dimensão, espessura, massa ou que possa ser subdividido. Assim, não há na Geometria uma definição conceitual de ponto, mas espera-se que todas as pessoas imaginem a mesma coisa quando leêm a palavra "PONTO", sem a necessidade de uma definição. Concluindo:[br][br] [br][i] [size=200][b][color=#ff0000]PONTO É UM CONCEITO PRIMITIVO! [/color][/b][/size][/i]

[justify][b][i]RETA[/i][/b] e [b][i]PLANO[/i][/b] são dois [i]CONCEITOS PRIMITIVOS[/i] que são fundamentais na Geometria. [br]A ideia de uma reta pode ser sugerida por um fio esticado e a ideia de plano, pela tela de um celular, tela de uma TV ou, ainda, a superfície ou o tampo de uma mesa. Porém, o fio esticado terá COMEÇO e FIM e a mesa suas beiradas, e, ambos, têm a sua espessura. Lembrando que, para materializarmos as ideias de reta e plano, seriam necessárias coisas/objetos sem espessura e que se estendessem infinitamente. É lógico, que só podemos imaginar a existência dessas coisas. Então, concluímos:[br][/justify][br][size=200][color=#ff0000][b][i] RETA E PLANO SÃO CONCEITOS PRIMITIVOS![/i][/b][/color][/size]

[justify]Usualmente, são adotados como representações gráficas de reta e plano os desenhos abaixo:[/justify]

[justify]Deve-se imaginar que a linha das retas "s" e "t" se prolongam em ambos os sentidos, como sugerem as setas e que a figura de baixo mostra penas uma parte/porção/pedaço do plano, o qual, na realidade, não tem esse contorno.[br]As retas são indicadas por letras latinas minúsculas (a, b, c, ...) e os planos, por letras gregas minúsculas ([math]\alpha[/math], [math]\beta[/math], [math]\gamma[/math],...). [/justify]

[justify]As proposições (propriedades, afirmações) geométricas são aceitas mediante demonstrações.[br]As [b][i]proposições primitivas[/i][/b] ou [b][i]postulados[/i][/b] ou [b][i]axiomas[/i][/b] são aceitos sem demonstração.[br]Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando o [b][i]ponto[/i][/b], a [b][i]reta[/i][/b] e o [b][i]plano[/i][/b].[/justify]

POSTULADO DA EXISTÊNCIA[br][br][b][i]a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.[br]b) Num plano há infinitos pontos.[br][/i][/b][br]A expressão "[b][i]infinitos pontos[/i][/b]" tem o significado de "[b][i]tantos pontos quanto quisermos[/i][/b]".[br][br]A figura abaixo indica uma reta "r" e os pontos A, B, P, R, S e M, sendo que:[br][br]- A, B e P estão em "r" ou a reta r" passa por A, B e P, ou ainda, A [math]\in[/math] r, B [math]\in[/math] r, P [math]\in[/math] r; [br]- R, S e M não estão em "r" ou "r" não passa por R, S e M, ou ainda R [math]\notin[/math] r, S [math]\notin[/math], M [math]\notin[/math] r.

Dados dois pontos A e B, de duas uma:[br][br]ou [b][i]A e B são coincidentes[/i][/b] (é o mesmo ponto, com dois nomes: A e B) ou [b][i]A e B são distintos[/i][/b].[br] (A [math]\bullet[/math] B, logo A = B ou [math]\bullet[/math]A e [math]\bullet[/math]B, no caso A [math]\ne[/math] B).

Dados um ponto e uma reta "r", de duas uma:[br][br]ou o ponto [b][i]P está na reta "r"[/i][/b] (a reta [b][i]"r" passa por P[/i][/b], ou seja,[b][i] P [/i][/b][math]\in[/math][b][i] r[/i][/b])[br][br]ou o ponto [b][i]P não está na reta "r"[/i][/b] (a reta [b][i]"r" não passa por P[/i][/b]. Assim, [b][i]P [/i][/b][math]\notin[/math][b][i] r[/i][/b]).

[justify]Dois ou mais pontos são [b][i]colineares[/i][/b] se todos eles pertencem a uma mesma reta. Dizemos, também, que esses pontos estão [b][i]alinhados[/i][/b]. Caso contrário, eles são [b][i]não colineares[/i][/b] ou estão [i]não alinhados[/i].[br][b][i]Pontos coplanares[/i][/b] são pontos que pertencem ou estão num [i]mesmo plano[/i].[/justify]

POSTULADO DA DETERMINAÇÃO[br][br]a) Da reta[br][br][b]Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles.[br][br][/b]Podemos dizer, também, que: [b][i]dados dois pontos distintos A e B, existe uma única reta "r" tal que A [/i][/b][math]\in[/math][b][i] r B[/i][/b][b][math]\in[/math][i] r[/i][/b][b][i].[/i][/b][br][br]Pode-se afirmar, ainda, que: [i]dois pontos distintos determinam completamente uma reta, à qual ambos pertencem[/i]. Ou, então, [b][i]por dois pontos distintos passa uma única reta[/i][/b]. Tais afirmativas são formas de expressar a mesma coisa. Em símbolos, temos:[br][br] A [math]\ne[/math] B [math]\Longrightarrow[/math] [math]\exists[/math] r[math]\mid[/math] (A [math]\in[/math] r e B [math]\in[/math] r)[br][br]o que se lê: [i]se A é distinto de B, então existe uma única r, tal que A pertence a r e B pertence a r[/i].

É importante ressaltar que, para caracterizarmos uma reta, podemos tomar sobre ela [i][b]qualquer par[/b][/i] de dois pontos distintos.

b) Do plano[br][br][justify][b][i]Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles[/i][/b]. Podemos dizer, também, que: [b][i]dados três pontos A, B e C não colineares, existe um único plano [/i][/b][math]\alpha[/math][b][i] tal que A [/i][/b][math]\in[/math][b][i] [/i][/b][math]\alpha[/math][b][i] e B [math]\in[/math][/i][/b] [math]\alpha[/math][b][i] e C [math]\in[/math] [/i][/b][math]\alpha[/math].[br]Existem, ainda, as seguintes formas:[br][i][b]Três pontos não alinhados determinam completamente um plano, ao qual eles pertencem[/b] [/i]e, outra forma é: [b][i]por três pontos não colineares passa um único plano[/i][/b]. Simbolicamente, representamos por:[/justify] A, B, C não alinhados [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists[/math][math]\alpha[/math][math]|[/math] (A [math]\in[/math] [math]\alpha[/math] e B [math]\in[/math] [math]\alpha[/math] e C [math]\in[/math] [math]\alpha[/math])

[justify]O plano determinado pelos pontos A, B e C pode ser indicado por pl (ABC), ou pl (ACB), ou pl (BCA), etc, indiferentemente.[br][br]Quando apoiamos no chão um tripé, observamos que o aparelho obtém uma posição estável, mesmo se o terreno for irregular. O contrário ocorreria se fosse uma mesa ou cadeira com quatro pés, pois há a possibilidade de não ter estabilidade (mancar). Num piso bem plano, três pés da mesa ou da cadeira vão ficar apoiados: o quarto pé poderá ou não pertencer ao plano determinado, pelos outros três. Desta forma, tem-se uma materialização da ideia de plano deste postulado.[/justify]

POSTULADO DA INCLUSÃO[br][br][justify][b][i]Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse plano[/i][/b]. Outra forma de anunciar esse postulado é: [b][i]se dois pontos distintos A e B de uma reta r pertencem a um plano [/i][/b][math]\alpha[/math][b][i], então todos pontos dessa reta pertencem a [/i][/b][math]\alpha[/math].[/justify]

[justify]Simbolicamente, escrevemos: (A [math]\ne[/math] B, A [math]\in[/math] [math]\alpha[/math], B [math]\in[/math] [math]\alpha[/math]) [math]\Longrightarrow[/math][b][i]r [math]\subset[/math][/i][/b] [math]\alpha[/math]. [br][br]Vale salientar que a reta [i]r [/i]é um conjunto de pontos, logo é um subconjunto do plano [math]\alpha[/math].[br][/justify]

[b][i]Observação:[br][br][/i][/b]a) [i]Pontos coplanares[/i]: são pontos que pertencem a um mesmo plano;[br]b) [i]Figura[/i]: é qualquer conjunto de pontos;[br]c) [i]Figura plana[/i]: é uma figura que tem todos os seus pontos num mesmo plano; e[br]d) A [i]Geometria Plana[/i] estuda as figuras planas.

Retas concorrentes[br][br]a) Definição[br][br]Duas retas são [i][b]concorrentes[/b][/i] se, e somente se, elas têm [i][b]um único[/b][/i] ponto comum, ou seja, são duas retas que têm na interseção [b][i]um único[/i] [i]ponto[/i][/b].

b) Existência[br][br][justify]Usando o postulado da existência, tomemos uma reta [i]r[/i], um ponto [i]P[/i] em [i]r[/i] (P [math]\in[/math][i] r)[/i] e um ponto [i]Q [/i]fora de [i]r [/i](Q [math]\notin[/math][i] r[/i]).[br]Os pontos [i]P[/i] e [i]Q[/i] são distintos, pois um deles pertence a [i]r[/i] e o outro não.[br]Usando o postulado da determinação, considerando a reta [i]s [/i]determinada pelos pontos [i]P[/i] e [i]Q. [/i]As retas [b]r [/b]e[b] s [/b]são distintas, pois se coincidissem o ponto [i]Q [/i]estaria em [b]r [/b](e ele foi construído fora de [i]r[/i]), e o ponto [i]P [/i]pertence às duas. Logo, [b][i]r[/i] [/b]e [i]s [/i]são concorrentes. [/justify]