Le iperboli possono essere di vario tipo sul piano cartesiano. In questa scheda vedremo e studieremo il caso di [b]iperboli con fuochi sugli assi cartesiani[/b].[br][br][u][b][color=#ff0000]Teorema[/color][/b][/u]: [color=#0000ff]un'iperbole [/color][i][color=#0000ff]con fuochi sull'asse delle ascisse è [/color][color=#0000ff]il luogo dei punti del piano che sono soluzioni di un’equazione di secondo grado in due incognite del tipo:[br][/color][center][math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math][color=#0000ff][br]con a,b numeri reali non nulli[/color][/center][/i][br]Grazie a questo risultato possiamo studiare come varia la forma di un'iperbole al variare dei suoi coefficienti algebrici [i]a,b[/i]. [br][br]Creiamo dunque un'iperbole seguendo queste semplici istruzioni:[br][list=1][*]Utilizzando lo strumento [i]Slider[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon] definiamo il numero a, con valori da 0 a 5 e incremento 0.1 .[/*][*]Settiamo inizialmente il valore a=2.[/*][*]Ripetiamo la costruzione del punto 1 per definire il numero b, con valori da 0 a 5 e incremento 0.1 .[/*][*]Settiamo inizialmente il valore b=3.[/*][*]Adesso nella parte [i]Algebra[/i] di GeoGebra (il pannello a sinistra) andiamo in una casella libera e scriviamo l'espressione algebrica della parabola inserendo "x^2/a^2 - y^2/b^2=1" (senza le virgolette "").[br][/*][/list][br]Il risultato ottenuto dovrebbe essere simile a quello mostrato di seguito. Il foglio mostra anche altri dettagli non necessari, la cui utilità si comprende nel provare a rispondere alle domande.
[b]Nota[/b]: tutto ciò che viene fatto in questa scheda riguarda [i][color=#ff0000]l'iperbole con fuochi sull'asse x[/color][/i], ma può essere tranquillamente usato anche per [i][color=#ff0000][b]l'iperbole con fuochi sull'asse y[/b][/color][/i], inserendo semplicemente a secondo membro la costante [b]-1[/b] al posto di [b]+1[/b].
Modificando il parametro [b]a [/b]come cambia la curva?
Modificando il parametro [b]b [/b]come cambia la curva?
Il parametro [math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math] è detto [i][b][color=#0000ff]semidistanza focale[/color][/b][/i], ed è uguale alla metà della distanza tra i due fuochi. Sapendo che i fuochi sono posizionati sull'asse delle ascisse, e che il loro punto medio è l'origine degli assi cartesiani, quali sono dunque le loro coordinate?
I punti in cui l'iperbole tocca gli assi cartesiani sono detti [i][b][color=#0000ff]vertici dell'iperbole[/color][/b][/i]. [br]In particolare, i vertici sull'asse x sono detti [i]vertici reali[/i] [br]e i vertici sull'asse y (ottenuti dall'iperbole con fuochi sulle ordinate) sono detti [i]vertici non reali[/i].[br]Osservando come cambiano i punti di incontro dell'iperbole con gli assi al variare dei parametri [b]a[/b] e [b]b[/b], quali sono le coordinate dei vertici rispetto ad essi?
Quanto vale la distanza tra i vertici reali dell'iperbole? E quella tra i vertici non reali?
Il rapporto tra la distanza dei due fuochi e la distanza dei due vertici reali è detta [i][color=#0000ff][b]eccentricità[/b][/color][/i] [i]dell'iperbole[/i] e viene indicata con la lettera "[i]e".[br][/i]Ricordando quanto valgono le distanze, ricava la formula per calcolare [i]e[/i] a partire dai parametri [b]a[/b] e [b]b[/b].
Conoscendo l'espressione di [i]e[/i], spiega perché non è possibile ottenere valori di [i]e[/i]<1.
Prova a impostare i valori dei parametri [b]a[/b] e [b]b[/b] in modo da ottenere [i]e[/i]=1,5 ; [i]e[/i]=2; [i]e[/i]=3; [i]e[/i]=10.[br]Come cambia il grafico dell'iperbole al variare della sua [i]eccentricità[/i]?
Nel foglio di lavoro che vedete sopra sono presenti anche due rette (tratteggiate in rosso), ottenute dalle equazioni [math]y=\frac{b}{a}x[/math] e [math]y=-\frac{b}{a}x[/math]. Queste due rette sono dette [i][b][color=#0000ff]asintoti[/color][/b] dell'iperbole[/i].[br]Dopo averle inserite nel tuo file GeoGebra, rispondi a questa domanda:[br][br]Che legame c'è tra l'iperbole e i suoi asintoti?[br][br][size=85]([i]Suggerimento[/i]: se non riesci a capirlo, prova ad allargare la vista e controllare cosa succede per valori di x e y molto grandi...)[/size]