Sabemos que dos rectas en R[math]^2[/math], se cortan en un único punto, son paralelas o se trata de la misma recta. Asimismo, en R[math]^3[/math] existen los tres casos anteriores y además existen rectas que ni se cortan ni son paralelas (skew lines).

[b]Rectas Paralelas[br][/b]Las rectas R[math]_1[/math] y R[math]_2[/math] son paralelas si y sólo si sus vectores de dirección [math]V1^{\longrightarrow}[/math] y [math]V2^{\longrightarrow}[/math] son paralelos.[br][math]R_1[/math] [math]\parallel[/math] [math]R_2[/math] [math]\Longleftrightarrow[/math] [math]V1^{\longrightarrow}[/math] [math]\parallel[/math] [math]V2^{\longrightarrow}[/math]

Dos rectas son paralelas si uno de sus vectores de dirección es k veces el vector de dirección de la otra recta, así:[br]Sean L1: P[math]_0[/math] + t[math]U[/math] y L2: P[math]_0[/math]+ s[math]V[/math] dos rectas en [math]R^3[/math][br][br]Entonces [math]v=ku[/math][br][br][b]Ejemplo:[br][br][/b]Sea [math]L_1[/math]: (-1,3,6)+[math]t[/math](2,-5,4) y [math]L_2[/math]: (2,8,6)+[math]s[/math](6,-15,12)[br][br]Tomamos u=(2,-5,4) y v=(6,-15,12)[br][br]Si multiplicamos 3*u, obtenemos como resultado (8,-15,12), ya que 3*u=3(2,-5,4)=(6,-15,12)[br][br]Por lo que sabemos que el vector u y el vector v son paralelos, y por lo tanto, las rectas también.[br]

[b]Skew Lines[br][/b]Se refiere a rectas que no son paralelas, perpendiculares ni se intersectan en algún punto, simplemente existen en el espacio sin tocarse en ningún punto, por lo que al igualar sus ecuaciones, no existe una solución.[br][br][img]https://aga.frba.utn.edu.ar/wp-content/uploads/2016/09/rectas-alabeadas-.png[/img][br][b]Ejemplo:[br][br][/b]Sea [math]L_1[/math]: (-2,1,3)+[math]t[/math](1,4,5) y [math]L_2[/math]: (1,0,-2)+[math]s[/math](0,3,-1) [br][br]Escribimos las ecuaciones paramétricas de las rectas, así:[br][br]1. Para [math]L_1[/math]:[br][math]x=-2+t[/math] [math]y=1+4t[/math] [math]z=3+5t[/math][br][br]2. Para [math]L_2[/math]:[br][math]x=1[/math]  [math]y=3s[/math]  [math]z=-2-s[/math][br][br]Igualamos:[br][br][math]-2+t=1[/math] [math]1+4t=3s[/math] [math]3+5t=-2-s[/math][br][br]De la primera ecuación se obtiene [math]t=3[/math][br][br]Reemplazando [math]t=3[/math] en la segunda ecuación, tenemos [math]1+4\left(3\right)=3s[/math] y [math]s=\frac{13}{3}[/math][br][br]Pero si sustituimos los valores en la tercera ecuación, obtenemos [math]3+5\left(3\right)=-2-\frac{13}{3}[/math] y [math]18\ne-\frac{19}{3}[/math][br]Por lo que la ecuación no tiene solución, y las rectas no se intersectan pero tampoco son paralelas.

En este caso, los vectores de dirección de las rectas pueden ser, o no, ortogonales, basta con que al igualar las ecuaciones exista sólo una solución para saber que las rectas se intersectan.[br][br]

[b]Rectas que se intersectan sin ser perpendiculares[br][br]Ejemplo:[br][br][/b]Sean L1:(−1, 3, 1)+t(4, 1, 0) y L2:(−13,−3,−2)+s(12, 6, 3)[br][br]Su punto de intersección es (-1,3,1), ya que al dar el valor de t=0, tenemos:[br][br](-1,3,1) = (-1,3,1) + 0 (4,1,0), entonces (-1,3,1) = (-1,3,1)[br][br]Y si igualamos s=1 en la segunda ecuación, da el valor de (-1,3,1), así:[br][br](-1,3,1) = (-13,-3,-2) + 1 (12,6,3), entonces (-1,3,1) = (-1,3,1)[br][br]Así comprobamos que la intersección entre L1 y L2 es (-1,3,1)[br][br][b]Rectas perpendiculares[br][br][/b]Las rectas L1 y L2 son ortogonales (L1 ⊥ L2) si y sólo si sus vectores de dirección U y V son ortogonales.[br][br]L1 ⊥ L2 ⟺ U ⊥ V

[b]Ejemplo:[br][/b]Sea L1: (−1, 3, 1)+t(4, 1, 0) y L2: (0, 2,−1)+t(−1, 4, 3)[br][br]Sabemos que son perpendiculares si al evaluar el producto punto de sus vectores de dirección obtenemos como resultado 0, así:[br][br]U=(4,1,0) V=(-1,4,3)[br][br]Luego:[br][br]U [math]\cdot[/math] V= (4,1,0) [math]\cdot[/math] (-1,4,3)=-4+4+0= 0[br][br]Es así como podemos comprobar que esas dos rectas son perpendiculares.

[b]Rectas coincidentes[br][/b]Son aquellas que comparten todos sus puntos en común, es decir, tienen la misma inclinación y atraviesan las mismas coordenadas. Las rectas coincidentes, desde el punto de vista gráfico, se dibujan una encima de la otra, siendo ambas idénticas.

[b]Ejemplo:[br][br][/b]Para determinar si dos rectas son coincidentes, verificamos que sus vectores de dirección sean paralelos, es decir, que uno sea escalar del otro:[br][br]Sea L1: [br][br]x=1+3[math]\lambda[/math][br]y=-2[math]\lambda[/math][br]z= -1+[math]\lambda[/math][br][br]Con P[math]_0[/math]=(1,0,-1) y vector de dirección [math]V=[/math](3,-2,1)[br][br]Sea L2:[br][br]x=4-6[math]\lambda[/math][br]y= -2+4[math]\lambda[/math][br]z= -2[math]\lambda[/math][br][br]Con P[math]_0[/math]=(4,-2,0) y vector de dirección [math]U=[/math](-6,4,-2)[br][br]Podemos observar que U=2V, (-6,4,-2)=-2(3,-2,1), entonces V[math]\parallel[/math] U[br][br]Para comprobar que son coincidentes tomamos el punto de paso de la primera recta y verificar si el mismo, pertenece a la segunda recta.[br][br]Igualamos las coordenadas del punto P(1,0,-1) en la ecuación paramétrica de L2, así:[br][br]1=4-6[math]\lambda[/math] -3=-6[math]\lambda[/math] [math]\lambda[/math]=[math]\frac{1}{2}[/math][br][br]0=-2+4[math]\lambda[/math] 2=4[math]\lambda[/math] [math]\lambda[/math]=[math]\frac{1}{2}[/math][br][br]-1=-2[math]\lambda[/math]    [math]\lambda[/math]=[math]\frac{1}{2}[/math][br][br]Así con los vectores de dirección paralelos y el valor de [math]\lambda[/math], comprobamos que las rectas son coincidentes.