Ruimtelichamen, grafen en paden

chris cambré, 02.11.2020

Leonardo da Vinci maakte perspectieftekeningen van veelvlakken. Veelvlakken kan je ook voorstellen als een planaire graaf. Deze manier van voorstellen is erg nuttig om het aantal mogelijke verbindingen tussen hoekpunten en het minimaal aantal stappen te bepalen tussen twee hoekpunten van het veelvlak. Rechtstreekse verbindingen tussen hoekpunten van het veelvlak kunnen we ook voorstellen in een verbindingsmatrix, waarmee we vermenigvuldigingen kunnen uitvoeren. Ik startte dit boek door de applets uit het GeoGebraboek [url=https://ggbm.at/Pr3bvbx3]Graph Theory for kids[/url] door [url=https://www.geogebra.org/voracova]Sarka Voracova[/url] te herbruiken. Vanuit deze applets onderzocht ik de 5 platonische lichamen en de 13 Archimedische lichamen.

Inhaltsverzeichnis

  1. Schlegel diagram
    1. Schlegel diagram
    2. Schlegel diagram viervlak
    3. Schlegel diagram kubus
    4. Schlegel diagram achtvlak
    5. Schlegel diagram twaalfvlak
    6. Schlegel diagram twintigvlak
  2. Lichamen, grafen en paden
    1. Een prisma voorstellen
    2. verbindingen en planaire grafen
    3. verbindingstabel
    4. Overstaande punten
    5. verbindingsmatrix
  3. viervlak
    1. viervlak als een planaire graaf
    2. Verbindingen tussen hoekpunten
    3. verbindingstabel
    4. verbindingsmatrix
  4. kubus
    1. kubus als een planaire graaf
    2. verbindingen tussen punten
    3. verbindingstabel
    4. verbindingsmatrix
  5. vierkante piramide
    1. vierkante piramide als een planaire graaf
    2. verbindingen tussen punten
    3. verbindingstabel
    4. verbindingsmatrix
  6. achtvlak
    1. achtvlak als planaire graaf
    2. verbindingen tussen punten
    3. verbindingstabel
    4. verbindingsmatrix
  7. twaalfvlak
    1. twaalfvlak als planaire graaf
    2. verbindingen tussen punten
    3. verbindingstabel
    4. verbindingsmatrix
    5. hamiltongraaf - een reis rond de wereld
    6. creëer een hamiltoncykel op graaf en dodecaëder
  8. twintigvlak
    1. twintigvlak als planaire graaf
    2. verbindingen tussen twee punten
    3. verbindingstabel
    4. verbindingsmatrix
  9. afgeknot viervlak
    1. afgeknot viervlak
    2. planaire graaf
    3. verbindingsmatrix
  10. kuboctaëder
    1. kuboctaëder
    2. planaire graaf
    3. verbindingsmatrix
  11. afgeknotte kubus
    1. afgeknotte kubus
    2. planaire graaf
  12. afgeknot achtvlak
    1. afgeknot achtvlak
    2. planaire graaf
  13. rombische kuboctaëder
    1. rombische kuboctaëder
    2. perspectieftekening en planaire graaf
    3. paden naar tegenoverliggende punten
  14. andere Archimedische lichamen
    1. afgeknotte kuboctaëder
    2. stompe kubus
    3. icosidodecaëder
    4. afgeknotte dodecaëder
    5. afgeknotte icosaëder
    6. rombische icosidodecaëder
    7. afgeknotte icosidodecaëder
    8. De afgestompte dodecaëder

1.

Schlegel diagram

  • 1. Schlegel diagram
  • 2. Schlegel diagram viervlak
  • 3. Schlegel diagram kubus
  • 4. Schlegel diagram achtvlak
  • 5. Schlegel diagram twaalfvlak
  • 6. Schlegel diagram twintigvlak

1.1.

–

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

Lichamen, grafen en paden

Wat is een planaire graaf? Hoe en waarom kan je ze gebruiken?

  • 1. Een prisma voorstellen
  • 2. verbindingen en planaire grafen
  • 3. verbindingstabel
  • 4. Overstaande punten
  • 5. verbindingsmatrix

2.1.

–

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

viervlak

  • 1. viervlak als een planaire graaf
  • 2. Verbindingen tussen hoekpunten
  • 3. verbindingstabel
  • 4. verbindingsmatrix

3.1.

–

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

kubus

  • 1. kubus als een planaire graaf
  • 2. verbindingen tussen punten
  • 3. verbindingstabel
  • 4. verbindingsmatrix

4.1.

–

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

vierkante piramide

  • 1. vierkante piramide als een planaire graaf
  • 2. verbindingen tussen punten
  • 3. verbindingstabel
  • 4. verbindingsmatrix

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

achtvlak

  • 1. achtvlak als planaire graaf
  • 2. verbindingen tussen punten
  • 3. verbindingstabel
  • 4. verbindingsmatrix

6.1.

–

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

7.

twaalfvlak

  • 1. twaalfvlak als planaire graaf
  • 2. verbindingen tussen punten
  • 3. verbindingstabel
  • 4. verbindingsmatrix
  • 5. hamiltongraaf - een reis rond de wereld
  • 6. creëer een hamiltoncykel op graaf en dodecaëder

7.1.

–

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

8.

twintigvlak

  • 1. twintigvlak als planaire graaf
  • 2. verbindingen tussen twee punten
  • 3. verbindingstabel
  • 4. verbindingsmatrix

8.1.

–

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

9.

afgeknot viervlak

  • 1. afgeknot viervlak
  • 2. planaire graaf
  • 3. verbindingsmatrix

9.1.

–

9.2.

–

9.3.

–

10.

kuboctaëder

  • 1. kuboctaëder
  • 2. planaire graaf
  • 3. verbindingsmatrix

10.1.

–

10.2.

–

10.3.

–

11.

afgeknotte kubus

  • 1. afgeknotte kubus
  • 2. planaire graaf

11.1.

–

11.2.

–

12.

afgeknot achtvlak

  • 1. afgeknot achtvlak
  • 2. planaire graaf

12.1.

–

12.2.

–

13.

rombische kuboctaëder

  • 1. rombische kuboctaëder
  • 2. perspectieftekening en planaire graaf
  • 3. paden naar tegenoverliggende punten

13.1.

–

13.2.

–

13.3.

–

14.

andere Archimedische lichamen

De volgende acht Archimedische lichamen worden steeds complexer in het aantal hoekpunten en zijden. Met tot 120 hoekpunten krijg je erg uitgebreide verbindingsmatrices, maar zelfs slechts het tonen van de planaire voorstelling loont de moeite.

  • 1. afgeknotte kuboctaëder
  • 2. stompe kubus
  • 3. icosidodecaëder
  • 4. afgeknotte dodecaëder
  • 5. afgeknotte icosaëder
  • 6. rombische icosidodecaëder
  • 7. afgeknotte icosidodecaëder
  • 8. De afgestompte dodecaëder

14.1.

–

14.2.

–

14.3.

–

14.4.

–

14.5.

–

14.6.

–

14.7.

–

14.8.

–

Information