Multiplicação por escalar

INTRODUÇÃO

[size=150][justify]O objetivo desta atividade é ampliar a compreensão sobre a operação de [b][i]multiplicação de um vetor por um escalar[/i][/b].[br]Usaremos aqui o termo [i]escalar[/i] como sinônimo de número real. Os escalares serão representados por letras gregas como α e β. Já os [i]vetores[/i] são entes matemáticos providos de [i]módulo[/i], [i]direção [/i]e [i]sentido [/i]e serão representados aqui por letras minúsculas do alfabeto latino como [b]u[/b], [b]v[/b] e [b]w.[/b] Quando no corpo do texto, o nome dos vetores aparecerá em negrito.[br][/justify][/size]

COORDENADAS DE UM VETOR

[size=150][justify]Um vetor é representado geometricamente por meio de uma seta, mas, algebricamente, um vetor é representado por meio de suas coordenadas, que são um par ordenado de números reais, caso seja um vetor do plano, ou uma terna ordenada, caso seja um vetor do espaço.[/justify][/size]

Construção 1

Questão 1

[size=150][justify]Na Construção 1, movimente os pontos pretos para modificar as coordenadas do vetor vermelho [b]v[/b]. Qual a relação entre as coordenadas de [b]v[/b] e o comprimento de suas projeções ortogonais sobre os eixos x e y, representadas pelos vetores azul e verde, respectivamente?[/justify][/size]

Construção 2

Questão 2

[size=100][size=150][justify]Na Construção 2, clique sobre o vetor [b]v[/b] e arraste-o pra diferentes posições. A seguir, clique sobre um dos pontos A ou B e movimente-os também.[br](a) Quando você arrastou o vetor [b]v[/b] (sem clicar nos pontos), as coordenadas dele foram alteradas? Por que você acha que isso aconteceu?[br](b) Quando você moveu os pontos A e B, as coordenadas do vetor [b]v[/b] foram alteradas? Por que você acha que isso aconteceu?[br](c) Como as coordenadas do vetor [b]v[/b] podem ser obtidas a partir das coordenadas de sua origem A e de sua extremidade B?[br](d) Em que situação as coordenadas do vetor [b]v[/b] coincidem com as coordenadas de sua extremidade B?[/justify][/size][/size]

MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

[size=150][justify]Na Construção 3 você pode modificar a aparência (módulo, direção e sentido) do vetor [b]u[/b] manipulando-o a partir de sua extremidade. Contudo, o vetor [b]v[/b] está definido de modo que [b]v[/b] = α[b]u[/b]. Assim, embora possa ser movido para qualquer posição do plano, sua aparência depende do vetor [b]u[/b] e do valor do escalar α.[br]Nessa construção você pode observar também os valores das coordenadas dos vetores [b]u[/b] e [b]v[/b], bem como os módulos, isto é, o comprimento destes vetores, representados por |[b]u[/b]| e |[b]v[/b]|.[/justify][/size]

Construção 3

Questão 3

[size=150][justify]Na Construção 3, manipule o controle deslizante para alterar o valor de α e responder as perguntas abaixo:[br](a) A direção do vetor [b]v[/b] é sempre a mesma do vetor [b]u[/b] quando você altera o valor de α? E se você alterar o vetor [b]u[/b] manipulando sua extremidade ou sua origem?[br](b) O sentido dos vetores [b]u[/b] e [b]v[/b] é sempre o mesmo? Se não, em que situações esse sentido é invertido?[br](c) O que acontece quando α = 0?[br](d) O que acontece quando α = 1?[br](e) O que acontece quando α = -1?[br](f) Para que valores de α o vetor [b]v[/b] é menor que o vetor [b]u[/b]?[/justify][/size]

Questão 4

[size=150][justify]Ainda com base na Construção 3, responda as perguntas abaixo.[br](a) Como é possível obter o valor do módulo do vetor [b]v[/b] a partir do valor de α e do módulo do vetor [b]u[/b]?[br](b) Como é possível obter as coordenadas do vetor [b]v[/b] =([i]a[/i], [i]b[/i]) a partir do valor de α e das coordenadas do vetor [b]u[/b] = ([i]c[/i], [i]d[/i])?[/justify][/size]