[size=150]La [b]funzione inversa[/b] di una funzione [math]f[/math], se esiste, è la funzione indicata con [math]f^{-1}[/math].[br]Affinché l'inversa esista è necessario che la funzione [math]f[/math] sia invertibile, cioè:[br][list][*]iniettiva: ciascuna retta orizzontale interseca il grafico di [math]f[/math] in [b]al massimo[/b] un punto[/*][*]suriettiva: ciascuna retta orizzontale interseca il grafico di [math]f[/math] in [b]almeno[/b] un punto[/*][/list][br]Ti ricordi come trovavamo la funzione inversa della funzione [math]f[/math]: [br][list=1][*] Il primo step è trasformare, con passaggi algebrici, l'espressione della funzione[br]y = f(x) in un'espressione del tipo[br][center]x = qualcosa dipendente da (y)[/center][/*][*]Il secondo step è rinominare x e y, l'una diventa l'altra.[/*][/list]Se i passaggi sono giusti, allora quest'ultima è proprio l'espressione della funzione inversa. Finito![/size]
[size=150]Calcola l'espressione di [math]f^{-1}[/math]funzione inversa di [br][center]f(x)=y=3x+2[/center][/size]
Devo riscrivere la funzione come x=...[br]Allora[br]3x=y-2[br]x=[math]\frac{1}{3}[/math](y-2)[br]x=[math]\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}[/math][br]Rinomino[br]y=[math]\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}[/math][br]Ecco l'espressione della funzione inversa!
[size=150]Noti qualche simmetria tra i grafici delle due funzioni?[/size]
[size=150]Calcola l'espressione di [math]f^{-1}[/math]funzione inversa di [br][center]f(x)=y=[math]\left(x+2\right)^3[/math][/center][/size]
y=[math]\sqrt[3]{x}-2[/math]
[size=150]Noti qualche simmetria tra i grafici delle due funzioni?[/size]
[size=150]Calcola l'espressione di [math]f^{-1}[/math]funzione inversa di [br][center]f(x)=[math]y=\frac{x+2}{x+1}[/math][/center][/size]
[size=150]Noti qualche simmetria tra i grafici delle due funzioni?[/size]
[size=150]Se abbiamo tracciato il grafico di una funzione f e siamo di fronte ad una funzione invertibile, il[br]grafico dell'inversa [math]f^{-1}[/math] è il [b]simmetrico[/b] del grafico della funzione f [b]rispetto alla bisettrice[br]del primo e terzo quadrante y=x[/b].[br][br]Per questo motivo, se abbiamo il grafico di una funzione e ci siamo assicurati che è[br]invertibile, ci basta disegnare la bisettrice del primo e terzo quadrante e ricavare il simmetrico del[br]grafico rispetto a tale retta. Quello ottenuto sarà il grafico della funzione inversa.[/size]
[size=150]Consideriamo la funzione esponenziale [br][center][math]y=a^x[/math][/center][br]Se voglio trovarne la funzione inversa devo scrivere x in funzione di y, ma x è il numero a cui elevo a per ottenere y, no?[br]Allora[br][center][math]x=log_ay[/math][/center][br]Vero?[br]Rinomino per ottenere la funzione inversa:[br][center][math]y=log_ax[/math][/center][/size]
[size=150]Domanda:[br][list=1][*][size=150]Quali sono le C.E. sulla [b]a[/b] per entrambe le funzioni?[/size][/*][*][size=150]La funzione esponenziale che dominio ha (x ammesse)?[/size][/*][*][size=150]La funzione esponenziale che insieme immagine ha (y realizzate)?[/size][/*][/list][/size]
[size=150]Traccia il grafico della funzione logaritmo con [b]a>1[/b] seguendo le istruzioni.[br][br] 1) Traccia nel piano cartesiano qui sotto la funzione esponenziale[center][math]y=a^x[/math][/center] creando uno slider sul valore di a tale che sia [b]a>1[/b].[br][br] 2) Traccia la retta y=x.[br][br] 3) Usa lo strumento GeoGebra "Simmetria assiale" (terzultimo pulsante) per tracciare il simmetrico della funzione esponenziale rispetto alla bisettrice primo e terzo quadrante.[br][br] 4) Hai trovato il grafico simmetrico a quello della funzione esponenziale rispetto a y=x. Per quanto abbiamo detto è il grafico della funzione inversa della funzione esponenziale, cioè è il [b]grafico della funzione logaritmo[/b].[/size][br] [br]
[size=150]Rispondi alle seguenti domande variando il valore di [b]a[/b] con lo slider[br][br][list=1][*][size=150]Dal grafico della funzione, qual è il dominio della funzione logaritmo?[/size][/*][*]Dal punto di vista analitico, ha senso che il dominio della funzione [math]y=log_ax[/math] sia quello che hai dedotto graficamente? Perché?[/*][*][size=150]Qual è l'insieme immagine?[/size][/*][*][size=150]E' una funzione pari o dispari?[/size][/*][*][size=150]Quali sono le intersezioni con gli assi cartesiani?[/size][/*][*][size=150]Per quali valori di x la funzione assume valori positivi?[/size][/*][*][size=150]Riesci a individuare degli asintoti, cioè rette a cui la funzione si avvicina sempre più senza intersecarle mai?[/size][/*][*][size=150]E' una funzione crescente o decrescente?[/size][/*][/list][/size]
[size=150]Ripeti il procedimento e traccia il grafico della funzione logaritmo questa volta con base 0<a<1 seguendo le istruzioni.[br][br] 1) Traccia nel piano cartesiano qui sotto la funzione esponenziale[center][math]y=a^x[/math][/center] creando uno slider sul valore di a tale che sia 0<a<1.[br][br] 2) Traccia la retta y=x.[br][br] 3) Usa lo strumento GeoGebra "Simmetria assiale" (terzultimo pulsante) per tracciare il simmetrico della funzione esponenziale rispetto alla bisettrice primo e terzo quadrante.[br][br] 4) Hai trovato il grafico simmetrico a quello della funzione esponenziale rispetto a y=x. Per quanto abbiamo detto è il grafico della funzione inversa della funzione esponenziale, cioè è il [b]grafico della funzione logaritmo[/b].[/size][br] [br]
[size=150]Rispondi alle seguenti domande variando il valore di [b]a[/b] con lo slider[br][br][list=1][*][size=150]Dal grafico della funzione, qual è il dominio della funzione logaritmo?[/size][/*][*]Dal punto di vista analitico, ha senso che il dominio della funzione [math]y=log_ax[/math] sia quello che hai dedotto graficamente? Perché?[/*][*][size=150]Qual è l'insieme immagine?[/size][/*][*][size=150]E' una funzione pari o dispari?[/size][/*][*][size=150]Quali sono le intersezioni con gli assi cartesiani?[/size][/*][*]Per quali valori di x la funzione assume valori positivi?[/*][*][size=150]Riesci a individuare degli asintoti, cioè rette a cui la funzione si avvicina sempre più senza intersecarle mai?[/size][/*][*][size=150]E' una funzione crescente o decrescente?[/size][/*][/list][/size]