[math]u\left(n\right)=\frac{n^3-3n^2+8n}{3}[/math][b] coïncide avec [/b][math]v\left(n\right)=2^n[/math][b] pour n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ![/b][br]J'ai découvert cet étonnant phénomène en résolvant le problème suivant :[br]“Pour tout entier n >= 1, [b]on place n points sur un cercle[/b] de sorte que l'ensemble des segments les reliant deux à deux ne possède aucun point d'intersection multiple.[br]Déterminer [b]le nombre r(n) de régions du disque[/b] ainsi obtenues.”[br][b]On obtient les premiers termes : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.[br]Ce qui suggère fortement la conjecture : [/b][math]r\left(n\right)=2^{n-1}[/math][b].[br]Sauf que r(6) = 31 !?![/b][br]En cherchant une relation de récurrence vérifiée par r(n), j'obtiens que [b]r(n+2) - r(n+1) est égal à la suite u(n), qui coïncide avec v(n) pour n = 1 ; 2 ; 3 ; 4... Mais pas 5 ![/b][br][br][u]Remarque[br][/u]Le polynôme u(x) est de degré 3 et interpole la fonction v(x) en 4 points donc c'est simplement [b]le polynôme de Lagrange[/b] ! [br]Le caractère remarquable de ce phénomène tient donc seulement au contexte combinatoire dans lequel il apparaît et bien sûr à la conjecture exponentielle fallacieuse qu'on est tenté de faire au vu des cinq premiers termes. [br][br][u]Digression[/u] [br]La coïncidence presque parfaite des deux courbes sur l'intervalle [1 ; 4] implique que pour tout rationnel p/q (non entier) entre 1 et 4, u(p/q) est une excellente [b]approximation rationnelle[/b] (car u polynôme à coefficients rationnels) du nombre v(p/q) qui, lui, est [b]irrationnel [/b]! [br]En effet, par l'absurde, [math]2^{\frac{p}{q}}=\frac{a}{b}[/math] irréductible impliquerait [math]2^pb^q=a^q[/math]. Donc a pair, [math]a=2^nk[/math], k impair et b impair, donc p = nq c'est-à-dire p/q entier : contradiction.[br](En fait, l'analyse numérique montre que l'erreur u(x) - v(x) est > 0 pour x dans ]1 ; 2[ U ]3 ; 4[ et < 0 pour x dans ]2 ; 3[ et surtout qu'elle varie, en valeur absolue, entre 0 (pour x entier) et environ 0,07, ce qui n'est pas si excellent, mais graphiquement, ça reste assez troublant.)[br]Ce phénomène d'approximation d'irrationnels par des rationnels me rappelle notamment [b]la suite de Héron[/b], dont tous les termes sont rationnels et qui converge vers [math]\sqrt{2}[/math].[br]Mais en fait les occurrences de ce phénomène sont innombrables ! On peut par exemple aller regarder du côté des [b]séries entières de fonctions irrationnelles[/b] comme la racine n-ème, [b]voire transcendantes [/b]comme exp, ln, Arctan, etc., dont toutes les sommes partielles sont rationnelles si x l'est.[br]Ou encore l'approximation de [math]ln\left(2\right)=\int_1^2\frac{dx}{x}[/math] par la méthode des rectangles. Etc. !