[b]Теорема[br][/b][quote]Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответсвенно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольник, то такие треугольники равны.[b][br][/b][/quote][url=https://www.geogebra.org/m/dnu8yb9r]Доказательство[/url]

[b]Теорема[br][/b][quote][b][/b]Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.[justify][/justify][/quote][url=https://www.geogebra.org/m/kybeccae]Доказательство[/url]

[justify]Из третьего признака равенства треуглльников следует, что [b]треугольник - жесткая фигура.[/b] Поясним, что это означает.[br][br]Представим себе две рейки, у которых концы скреплены гвоздем (см. рисунок). Такая конструкция не является жесткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем еще одну рейку и скрепим ее концы со свободными концами первых двух реек.[br][br]Полученная конструкция - треугольник - будет уже жесткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т.е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.[br][br]Это свойство - жесткость треугольника - широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип ипользуется при установке кронштейна.[/justify]

121. Отрезки [math]AB[/math] и [math]CD[/math] пересекаются в середине [math]O[/math] отрезка [math]AB[/math], [math]\angle OAD=\angle OBC[/math].[br] a) Докажите, что [math]\Delta CBO=\Delta DAO[/math];[br] б) найдите [math]BC[/math] и [math]CO[/math], если [math]CD=26[/math] см, [math]AD=15[/math] см.[br][br]122. На рисунке [math]\angle1=\angle2[/math], [math]\angle3=\angle4[/math].[br]a) Докажите, что [math]\Delta ABC=\Delta CDA[/math];[br]б) найдите [math]AB[/math] и [math]BC[/math], если [math]AD=19[/math] см, [math]CD=11[/math] см.[br][br]

123. На биссектрисе угла [math]A[/math] взята точка [math]D[/math], а на сторонах этого угла - точки [math]B[/math] и [math]C[/math] такие, что [math]\angle ADB=\angle ADC[/math]. Докажите, что [math]BD=CD[/math].[br][br]124. По данным рисунка ниже докажите, что [math]OP=OT[/math], [math]\angle P=\angle T[/math]. [br]

125. На рисунке ниже [math]\angle DAC=\angle DBC[/math], [math]AO=BO[/math]. Докажите, что [math]\angle C=\angle D[/math] и [math]AC=BD[/math].[br][br]126. На рисунке ниже [math]\angle DAB=\angle CBA[/math], [math]\angle CAB=\angle DBA[/math], [math]AC=13[/math] см. Найдите [math]BD[/math].

[justify]127. В треугольниках [math]ABC[/math] и [math]A_1B_1C_1[/math] [math]AB=A_1B_1[/math], [math]BC=B_1C_1[/math], [math]\angle B=\angle B_1[/math]. На сторонах [math]AB[/math] и [math]A_1B_1[/math] отмечены точки [math]D[/math] и [math]D_1[/math] так, что [math]\angle ACD=\angle A_1C_1D_1[/math]. Докажите, что [math]\Delta BCD=\Delta B_1C_1D_1[/math].[br][br]128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.[br][br]129. Отрезки [math]AC[/math] и [math]BD[/math] пересекаются в середине [math]O[/math] отрезка [math]AC[/math], [math]\angle BCO=\angle DAO[/math]. Докажите, что [math]\Delta BOA=\Delta DOC[/math].[br][br]130. В треугольниках [math]ABC[/math] и [math]A_1B_1C_1[/math] отрезки [math]CO[/math] и [math]C_1O_1[/math] - медианы, [math]BC=B_1C_1[/math], [math]\angle B=\angle B_1[/math] и [math]\angle C=\angle C_1[/math]. Докажите, что:[br] a) [math]\Delta ACO=A_1C_1O_1[/math];[br] б) [math]\Delta BCO=\Delta B_1C_1O_1[/math].[br][br]131. В треугольниках [math]DEF[/math] и [math]MNP[/math] [math]EF=NP[/math], [math]DF=MP[/math] и [math]\angle F=\angle P[/math]. Биссектрисы углов [math]E[/math] и [math]D[/math] пересекаются в точке [math]O[/math], а биссектрисы углов [math]M[/math] и [math]N[/math] - в точке [math]K[/math]. Докажите, что [math]\angle DOE=\angle MKN[/math].[br][br]132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла [math]A[/math], пересекает стороны угла в точках [math]M[/math] и [math]N[/math]. Докажите, что треугольник [math]AMN[/math] — равнобедренный.[br][br]133. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник — равнобедренный.[br][br]134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.[br][br]135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.[/justify]136. На рисунке [math]BC=AD[/math], [math]BD=DC[/math] и [math]\angle BAC=50^\circ[/math]. Найдите [math]\angle CAD[/math].

137. На рисунке ниже [math]BC=AD[/math], [math]AB=CD[/math]. Докажите, что [math]\angle B=\angle D[/math].

138. На рисунке ниже [math]AB=CD[/math] и [math]BD=AC[/math]. Докажите, что:[br] а) [math]\angle CAD=\angle ADB[/math];[br] б) [math]\angle BAC=\angle CDB[/math].

139. На рисунке ниже [math]AB=CD[/math], [math]AD=BC[/math], [math]BE[/math] - биссектриса угла [math]ABC[/math], а [math]DF[/math] - биссектриса угла [math]ADC[/math]. Докажите, что:[br] а) [math]\angle ABE=\angle ADF[/math];[br] б) [math]\Delta ABE=\Delta CDF[/math].

140. В треугольниках [math]ABC[/math] и [math]A_1B_1C_1[/math] медианы [math]BM[/math] и [math]B_1M_1[/math] равны, [math]AB=A_1B_1[/math], [math]AC=A_1C_1[/math]. Докажите, что [math]\Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1[/math].[br][br]141. В треугольниках [math]ABC[/math] и [math]A_1B_1C_1[/math] отрезки [math]AD[/math] и [math]A_1D_1[/math] — биссектрисы, [math]AB=A_1B_1[/math], [math]BD=B_1D_1[/math] и [math]AD=A_1D_1[/math]. Докажите, что [math]\Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1[/math].[br][br]142. Равнобедренные треугольники [math]ADC[/math] и [math]BCD[/math] имеют общее основание [math]DC[/math]. Прямая [math]AB[/math] пересекает отрезок [math]CD[/math] в точке O. Докажите, что:[br] а) [math]\angle ADB=\angle ACB[/math];[br] 6) [math]DO=OC[/math].

[justify]2.3.1. Докажите признак равенства треугольников: если две стороны и проведенная к одной из них высота одного треугольника соответсвеенно равны двум сторонам и проведенной к одной из них высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. [br][br]2.3.2. Докажите признак равенства треугольников: если две стороны и проведенная к одной из них медиана одного треугольника соответсвеенно равны двум сторонам и проведенной к одной из них медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.[br][br]2.3.3. Докажите признак равенства треугольников: если две стороны и проведенная из третьего угла высота одного треугольника соответственно равны двум сторонам и проведенной из третьего угла высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. [br][br]2.3.4. Докажите признак равенства треугольников: если сторона и две высоты, проведенные из углов, прилежащих к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам, проведенным из углов, прилежащихк этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны. [br][br]2.3.5. Докажите признак равенства треугольников: если две стороны и проведенная к третьей стороне высота одного треугольника соответственно равны двум сторонам и проведенной к третьей стороне высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. [br][br]2.3.6. Докажите признак равенства треугольников: если сторона, один из углов, прилежащих к этой стороне и биссектриса, проведенная из этого угла одного треугольника соответственно равны стороне, одному из углов, прилежащих к этой стороне и биссектрисе, проведенной из этого угла другого треугольника, то таие треугольники равны. [br][br]2.3.7. Докажите признак равенства треугольников: если две высоты и угол, из которого проведена одна из высот, одного треугольника соответственно равны двум высотам и углу, из которого проведена одна из высот, другого треугольника, то такие треугольники равны. [/justify]