Besondere Linien im Dreieck
Besondere Linien im Dreieck
Table of Contents
- 1. Lernvoraussetzungen
- Lagebeziehung von Geraden
- Lotgerade
- 2. Mittelsenkrechten im Dreieck
- Teil 1: Entdecken (Mittelsenkrechten im Dreieck)
- Teil 2: Verstehen (Mittelsenkrechten im Dreieck)
- Teil 3: Üben (Mittelsenkrechten im Dreieck)
- 3. Winkelhalbierende im Dreieck
- Teil 1: Entdecken (Winkelhalbierende im Dreieck)
- Teil 2: Verstehen (Winkelhalbierende)
- Teil 3: Üben (Winkelhalbierende im Dreieck)
- 4. Seitenhalbierende im Dreieck
- Teil 1: Entdecken (Seitenhalbierende im Dreieck)
- Teil 2: Verstehen (Seitenhalbierende im Dreieck)
- Teil 3: Üben (Seitenhalbierende im Dreieck)
- 5. Höhen im Dreieck
- Teil 1: Entdecken (Höhe im Dreieck)
- Teil 2: Verstehen (Höhen im Dreieck)
- Höhe im Dreieck
- 6. Einfache Übungen
- Besondere Objekte im Dreieck
- Hilf den Indianern
- 7. Mittlere Übungen
- Übereinstimmen von besonderen Linien im Dreieck
- Gleichseitige Dreiecke
- 8. Schwierige Übungen
- Inkreis und Umkreis von Dreiecken
- Ⓔ Hat jedes Viereck einen Umkreis?
- Ⓔ Umkreis des allgemeinen Vierecks
- Euler-Gerade und Feuerbach-Kreis
Lagebeziehung von Geraden
Untersuche, wie 2 Geraden zueinander liegen können, indem Du sie durch Bewegen der Punkte veränderst.
Gib an, wie 2 Geraden zueinander liegen können.
Untersuche, wie 3 Geraden zueinander liegen können, indem Du sie durch Bewegen der Punkte veränderst.
Gib an, wie 3 Geraden zueinander liegen können.
Teil 1: Entdecken (Mittelsenkrechten im Dreieck)
Blende die Mittelsenkrechten nacheinander ein, bewege die Punkte A, B, und C und beobachte.
Erstaunlich!
Wenn man verschiedene Dreiecke ABC und ihre Mittelsenkrechten untersucht, stellt man fest, dass sie sich immer...
Teil 1: Entdecken (Winkelhalbierende im Dreieck)
Blende die Winkelhalbierenden nacheinander ein, bewege die Punkte A, B, und C und beobachte.
Erstaunlich!
Wenn man verschiedene Dreiecke ABC und ihre Winkelhalbierenden untersucht, stellt man fest, dass sie sich immer...
Teil 1: Entdecken (Seitenhalbierende im Dreieck)
Definition: Seitenhalbierende
[center][/center][left][/left][center][/center][quote]Gegeben sei ein Dreieck ABC.[br]Die Strecke mit den Endpunkten…[list][*]Eckpunkt A des Dreiecks[/*][*]Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite BC[/*][/list]nennt man die [b]Seitenhalbierende s[sub]BC[/sub][/b] von [b]BC[/b].[/quote]
Konstruiere alle Seitenhalbierenden im Dreieck ABC, bewege die Punkte A, B, und C und beobachte.
Erstaunlich!
Wenn man verschiedene Dreiecke ABC und ihre Seitenhalbierenden untersucht, stellt man fest, dass sie sich immer...
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks ist der [b]Schwerpunkt[/b] des Dreiecks. Gib seine Koordinaten beim Dreieck A=(1,-2), B=(10, -1) und C=(11,-7) an.
Teil 1: Entdecken (Höhe im Dreieck)
Definition: Höhe im Dreieck
[center][/center][left][/left][center][/center][quote]Gegeben sei ein Dreieck ABC.[br]Die Strecke...[list][*]vom Eckpunkt A[/*][*]zum Lotfußpunkt von A auf der gegenüberliegenden Dreiecksseite BC[/*][/list]nennt man die [b]Höhe h[sub]A[/sub][/b] [b]durch A[/b] im Dreieck ABC.[/quote]
Konstruiere die Höhe h durch A im Dreieck ABC.
Bestimme die Länge der Höhe h[sub]A [/sub]im obigen Dreieck ABC.
Bewege A und beobachte die Höhe durch A im Dreieck ABC.
Beschreibe, was bei manchen Dreiecken mit eine Höhe passieren kann und gib an, bei welchen Dreiecken es passiert.
Als Höhenlinie einer Höhe h bezeichnet man die Gerade, auf der die Höhe h liegt. Erzeuge zuerst alle Höhen und dann alle Höhenlinien des Dreiecks.
Erstaunlich!
Wenn man verschiedene Dreiecke ABC und ihre Höhenlinien untersucht, stellt man fest, dass sie sich immer...
Untersuche, wie die Position des Höhnenschnittpunkts bezüglich des Dreiecks damit zusammenhängt, ob das Dreieck ein besonderes Dreieck ist.
Entscheide, was beim rechtwinkligen Dreieck eine Besonderheit ist.
Besondere Objekte im Dreieck
Probleme? Erklärvideo unter dem Applet
Übereinstimmen von besonderen Linien im Dreieck
Erzeuge im Dreieck ABC die besonderen Geraden und färbe sie entsprechend: Mittelsenkrechten (blau), Winkelhalbierenden (rot), Seitenhalbierenden (gelb) und Höhenlinien (grün).
Blende zur besseren Übersichtlichkeit nur die besonderen Linien für eine Seite des Dreiecks ein, also etwa nur die Mittelsenkrechte auf b, die Winkelhalbierende bei B, die Seitenhalbierende von b und die Höhenlinie auf b.[br][br]Untersuche die besonderen Linien darauf, was es bedeutet, wenn für eine Seite zwei von ihnen übereinstimmen.[br][br]Blende nun die besonderen Linien für die anderen Seiten ein.[br][br]Untersuche die besonderen Linien darauf, was es bedeutet, wenn sie für noch mehr Seiten übereinstimmen stimmen.
Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann ist es achsensymmetrisch. [br][br]Gib an, mit welchen Linien die Symmetrieachse übereinstimmt.
Inkreis und Umkreis von Dreiecken
Beurteile, ob es Dreiecke geben kann, deren Umkreismittelpunkt übereinstimmt mit ihrem Inkreismittelpunkt.
Zeichne ein Dreieck und konstruiere den In- und Umkreis des Dreiecks, deren Mittelpunkte. Lass Dir außerdem die Seitenlängen des Dreiecks und die Radien der Kreise anzeigen.
Untersuche mithilfe des obigen Applets, was es für das Dreieck bedeutet, wenn die angegebene Eigenschaft gilt.[br][br](1) Der Inkreismittelpunkt liegt auf einer Mittelsenkrechten.[br][br](2) Der Umkreismittelpunkt liegt auf einer Winkelhalbierenden.[br][br](3) Der Inkreismittelpunkt und der Umkreismittelpunkt stimmen überein.[br][br](4) Der Umkreismittelpunkt liegt innerhalb des Dreiecks.[br][br](5) Der Umkreismittelpunkt liegt außerhalb des Dreiecks.[br][br](6) Der Umkreismittelpunkt liegt auf einer Dreiecksseite.[br][br](7) Der Umkreisradius ist doppelt so groß wie der Inkreisradius.[br][br](8) Der Inkreisradius ist kleiner als die kürzeste Dreiecksseite.
Wir untersuchen den Fall, dass der Umkreismittelpunkt auf einer Dreiecksseite liegt, noch etwas genauer. Welche weiteren Beobachtungen kann man dann machen?