[size=150][b]＜体積も積分で＞[br][/b][size=100][color=#0000ff]（イメージ）[br][/color]　物体Aの体積Vを求めたい。[br]　Aを底(bottom)から頂上(top)まで、水平に切り刻む。[br]　超薄切りにすると１つ１つは板状なる。[br]　薄切りの１つの板の体積をdVとする。[br]　これをbottomからtopまで[color=#0000ff]SumUp（たしあげる）すると、[/color][/size][/size][size=150][math]\int^{top}_{bottom}dV=V[/math][br][b](計算法）[br][/b][size=100]y=f(x)の[a,b]区間でｘ軸の周りに回転してできる立体Aの体積V(A)は[br]厚みdxでの座標ｘの部分の回転体は円柱になり、dV=πf(x)[sup]2[/sup][/size][/size]から、[br]integral(πf(x)[sup]2[/sup],a,b)＝[math]\pi\int_a^bf\left(x\right)^2dx[/math][br]同様にx=g(y)のｙ軸で[a,b]区間でのy軸を回転軸にした体積V2[br]integral(πf(x)[sup]2[/sup],a,b)＝[math]\pi\int_a^bf\left(y\right)^2dy[/math]　(積分変数に注意）[br][color=#0000ff]（例）[/color]半径ｒ、高さｈの円柱、円錐の体積は？[br]　積分区間[0,h]、[br] 円柱の底面からｘはなれた断面円の半径の関数はf(x)=r。integral(πr[sup]2[/sup],0,h)=π(r[sup]2[/sup]h)=[color=#0000ff][b]πr[sup]2[/sup]h[/b][/color][br] 円錐の頂点からｘはなれた断面円の半径の関数f(x)はf(h)=r,f(0)=0から、f(x)=r/h・x。[br]　integral(π(r/h・x)[sup]2[/sup],0,h)=π(r/h)[sup]2[/sup]・1/3・h[sup]3[/sup]=[b][color=#0000ff]1/3πr[sup]2[/sup]h[/color][/b][br] [color=#0000ff]（例）[/color]半径ｒの球の体積は？[br]　積分区間[0,r][br]　原点中心の半球の原点からｘはなれた断面円の半径の関数はf(x)=√(r[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup])。f[sup]2[/sup](x)=r[sup]2[/sup]-x[sup]2[br][/sup] 球の体積は2・integral(πf[sup]2[/sup](x),0,r)=2π integral(r2-x2,0,r)=2π r[sup]2[/sup]r-1/3r[sup]3[/sup]=2・(1-1/3)r3=[color=#0000ff][b]4/3・r[sup]3[br][/sup][/b][/color][br][color=#0000ff][b][sup][br][/sup][/b][/color]

[b][size=150]＜自由落下＞[/size][/b][br]自由落下は加速度を[b]α(t)=ｇ[/b]とすると、[br]落下してからｔ秒後の速度はｖ（ｔ）=[b]vt[/b]。[br]ｔ秒後の落下距離はｙ（ｔ）＝integral(v,0,t)=[1/2vt[sup]2[/sup]][0,t]=[b]1/2vt[sup]2[/sup][/b]。[br]y'=v , v'= αという関係がある。[br][size=150][b][br]＜等速円運動＞[br][/b][/size][size=85][size=150]ばねにつるしたおもりの上下往復の運動は、等速円運動を真横からみた振動としてみること[br]ができて、これを単振動という。[/size][br][/size]単振動の振幅は等速円運動の半径と同じでR(m)としよう。[br]１周の周期をT(秒）、角速度をω（rad/秒）、１秒間の振動回数、振動数(Frequency)（Hz）をｆとしよう。[br]１円周＝2πR、周期＝１周にかかる時間T＝2πR/ω。振動数＝１秒の周回数＝1÷T=[b]1/T[/b]=ω/2πR。[br]ｔ秒後の回転角はωtなので、[br]ｔ秒後の円運動座標はP(Rcos(ωt), Rsin(ωt))となる。[br]だから、ｔ秒後の単振動の変位ｘ＝y(P)=[b]Rsin(ωt)[/b][br]速度は(Rsin(ωt))'=Rcos(ωt))・ω＝[b]Rω・cos(ωt)[/b][br]加速度は(Rω・cos(ωt))'=-Rω・sin(ωt)・ω=-ω[sup]2[/sup]Rsinωt=[b]-ω[sup]2[/sup]x[br][/b]

[b][size=150]＜積の微分から部分積分へ＞[/size][/b][br]小文字が導関数。逆微分をインテグラルの頭文字アイでかくとl(f)=F,l(g)=G。[br]微分公式(FG)'=fG+Fgを変形する。Fg=(FG)'-fG[br]両方の辺を積分して、I([color=#0000ff]F[/color][color=#ff0000][b]g[/b][/color])=F[color=#ff0000][b]G[/b][/color]-I([color=#0000ff]f[/color][color=#ff0000][b]G[/b][/color])を部分積分公式という。[br]次の３ステップでやってみよう。[br]（式の見方）FとGはもともと対等な式なので、[u]Fの導関数fが簡単になるように[/u]選ぶ。[br]（手順１）　[b]g部分だけ積分[/b]して[b]FG[/b]とする。[br]（手順２）　それから、そのF部分だけ微分した[b]fGの積分[/b]をひく。[br][b]＜一次式をFとするとfは定数＞[br][/b]（例）l((x+2)sinx)[br] F,g=x+2,sinxとすると、f,G=1,-cosx。[br][color=#0000ff]　　I(Fg)=FG-I(fG)=(x+2)(-sinx)-l(-sinx)=-(x+2)sinx+cosx+C[br][/color]（例）l((x)e[sup]x[/sup])[br]　　F,g=x,e[sup]x[/sup]とすると、f,G=1,e[sup]x[/sup]。[br][color=#0000ff]　　I(Fg)=FG-I(fG)=(x)(e[sup]x[/sup])-l(e[sup]x[/sup])=xe[sup]x[/sup]-e[sup]x[/sup]+C[br][/color][b]＜lnxをFとするとfは１/x＞[br][/b]（例）l((x)lnx)[br]  F,g=lnx,xとすると、f,G=1/x,1/2x[sup]2[/sup]。[br][color=#0000ff]  I(Fg)=FG-I(fG)=(lnx)(1/2x[sup]2[/sup])-l(1/x・1/2x[sup]2[/sup])=lnx/2・x2-1/4x[sup]2[/sup]+C[br][/color]（例）l((4x+1)lnx)[br] F,g=lnx,4x+1とすると、f,G=1/x,2x[sup]2[/sup]+x。[br][color=#0000ff] I(Fg)=FG-I(fG)=(lnx)(2x[sup]2[/sup]+x[sup][/sup])-l(1/x・(2x[sup]2[/sup]+x[sup][/sup]))[br][/color] =(lnx)(2x[sup]2[/sup]+x[sup][/sup])-l(2x+1)=(lnx)(2x[sup]2[/sup]+x[sup][/sup])-x[sup]2[/sup]-x+C[br][b]＜指数関数×三角関数は、部分積分を２回してからまとめる＞[br][/b]（例）P=I(e[sup]x[/sup]sinx)[br] Q=I(e[sup]x[/sup]cosx)とペアになるものをおく。[br] F=f=e[sup]x[/sup]を使う。I(sinx)=-cosx、l(cosx)=sinx[br]　P=l(e[sup]x[/sup]sinx)=e[sup]x[/sup](-cosx)-I(e[sup]x[/sup](-cosx))=-e[sup]x[/sup]cosx+Q[br]　Q=l(e[sup]x[/sup]cosx)=e[sup]x[/sup](sinx)-I(e[sup]x[/sup](sinx))=e[sup]x[/sup]sinx-P[br] まとめるとP=-e[sup]x[/sup]cosx+(e[sup]x[/sup]sinx-P)=e[sup]x[/sup](sinx-cosx)-P[br]　だから、不定積分P=e[sup]x[/sup](sinx-cosx)/2[br]（例）P=I(e[sup]x[/sup]sinx) [br] Q=I(e[sup]x[/sup]cosx)とペアになるものをおく。[br]　F=f=e[sup]x[/sup]を使う。I(sinx)=-cosx、l(cosx)=sinx[br]　P=l(e[sup]x[/sup]sinx)=e[sup]x[/sup](-cosx)-I(e[sup]x[/sup](-cosx))=-e[sup]x[/sup]cosx+Q[br]　Q=l(e[sup]x[/sup]cosx)=e[sup]x[/sup](sinx)-I(e[sup]x[/sup](sinx))=e[sup]x[/sup]sinx-P[br]　まとめるとP=-e[sup]x[/sup]cosx+(e[sup]x[/sup]sinx-P)=e[sup]x[/sup](sinx-cosx)-P[br]　だから、不定積分P=e[sup]x[/sup](sinx-cosx)/2[br][br]

＜合成微分から置換積分へ＞[br]小文字が導関数。逆微分をインテグラルの頭文字アイでかくとl(f)=F,l(g)=G。[br]x=G(t)のとき、F(G(t))=F(x)だから、[br]dF/dt=dF/dG・dG/dtから、{F(G(t)}′=F'(x)g(t) [br]両方の辺を積分して、[br]F(x)+C=∫f(x)g(t)dt[br]左辺は∫f(x)dxだから、[b][size=150][color=#0000ff]∫f([/color][color=#ff0000]x[/color][color=#0000ff])[/color][color=#6aa84f]dx[/color][color=#0000ff]=∫f([/color][color=#ff0000]G(t)[/color][color=#0000ff])[/color][color=#6aa84f]g(t)dt[/color][/size][/b]次の３ステップでやってみよう。[br]（手順１）積分変数ｘをパラメータｔを使って、[b][color=#ff0000]x=G(t)[/color][/b]と表し、[b]導関数[color=#6aa84f]g(t）[/color][/b]を求める。[br]（手順２）[b][color=#ff0000]x==>G(t)[/color][/b]、[b][color=#6aa84f]dx==>g(t)dt[/color] と置換して[/b]積分する。[br][b][size=150]＜√部分をｔとおき、xをtの式でおきかえる＞[br][/size][/b][color=#0000ff]（例）[/color]不定積分∫x/√(x−1)dxは？[br]　f(x)=x/√(x−1)で、√(x−1)=tとおくと、t[sup]2[/sup]=x-1だから、[color=#ff0000]x=G(t)=t[sup]2[/sup]+1[/color],g(t)=2t。[br]　[color=#ff0000]x==>t[sup]2[/sup]+1[/color], [color=#6aa84f]dx==>2tdt[/color]　におきかえる。[br]　[size=150][b]∫f(x)dx=[/b][b][size=150]∫x/√(x−1)dxとして、[br][b][size=150]　∫f(G(t))g(t)dt[/size][/b]=∫f(t[sup]2[/sup]+1)2t[/size][/b][b]dt[/b][size=100]=[size=150][size=150]∫([size=150]t[sup]2[/sup]+1)/t・[/size]2t)[/size]dt=[/size][/size][/size]2∫(t[sup]2[/sup]+1) dt [br] =2(1/3t[sup]3[/sup]+1)=2/3(t[sup]3[/sup]+t)=>[size=100][b][color=#0000ff]2/3((x-1)[sup]3/2[/sup]+(x-1)[sup]1/2[/sup])+C[/color][/b][/size][br][size=150][color=#0000ff]（例）[/color]不定積分∫x√(x+1)dxは？[br]　f(x)=x√(x+1)で、√(x+1)=tとおくと、t[sup]2[/sup]=x+1だから、x=G(t)=t[sup]2[/sup]-1,g(t)=2t。[br]　[color=#ff0000]x==>t[sup]2[/sup]-1[/color], [color=#6aa84f]dx==>2tdt[/color]　におきかえる。[br]　[size=150][b]∫f(x)dx=[size=150]∫x√(x+1)dxとして、[br]　＝[b][size=150]∫f(G(t))g(t)dt[/size][/b]=∫f(t[sup]2[/sup]-1)2t[/size]dt[/b][size=100]=[size=150][size=150]∫([size=150]t[sup]2[/sup]-1)t・[/size]2t)[/size]dt=[/size][/size][/size]2∫(t[sup]4[/sup]-t[sup]2[/sup]) dt [br] =2(1/5t[sup]5[/sup]-1/3t[sup]3[/sup])=2(1/5t[sup]5[/sup]-1/3t[sup]3[/sup])=>[b][size=100][color=#0000ff]2/5(x+1)[sup]5/2[/sup]-2/3(x+1)[sup]3/2[/sup]+C[/color][/size][br][/b][color=#0000ff]（例）[/color]不定積分∫x√(x[sup]2[/sup]+1)dxは？[br]　f(x)=x√(x[sup]2[/sup]+1)で、√(x[sup]2[/sup]+1)=tとおくと、t[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+1だから、x=G(t)=√(t[sup]2[/sup]-1),[br]　g(t)=1/2・/√(t[sup]2[/sup]-1)・2t=t/√(t[sup]2[/sup]-1)。[br]　[color=#ff0000]x==>√(t[sup]2[/sup]-1)[/color], dx==>t/√(t[sup]2[/sup]-1)dt　におきかえる。[br]　[size=150][b]∫f(x)dx=[/b][size=150][b]∫x√(x[sup]2[/sup]+1)dxとして、[br]　＝[/b][b][size=150]∫f(G(t))g(t)dt=[/size][/b]∫√(t[sup]2[/sup]-1) t ・[/size]t/√(t[sup]2[/sup]-1)dt[size=100]=[size=150][size=150]∫t[sup]2[/sup][/size]dt=1/3[/size][/size][/size]t[sup]3[/sup] ==>[/size][color=#0000ff][b]1/3(x[sup]2[/sup]+1)[sup]3/2[/sup]+C[/b][/color][size=150][br][color=#0000ff]（例）[/color]不定積分∫(x+2)√(x+1)dxは？[br]　f(x)=(x+2)√(x+1)で、√(x+1)=tとおくと、t[sup]2[/sup]=x+1だから、x=G(t)=t[sup]2[/sup]-1,g(t)=2t。[br]　[color=#ff0000]x==>t[sup]2[/sup]-1[/color], [color=#6aa84f]dx==>2tdt[/color]　におきかえる。[br]　[size=150][b]∫f(x)dx=[size=150]∫(x+2)√(x+1)dxとして、[br]　＝[b][size=150]∫f(G(t))g(t)dt[/size][/b]=∫f(t[sup]2[/sup]-1)2t[/size]dt[/b][size=100]=[size=150][size=150]∫([size=150]t[sup]2[/sup]-1+2)t・[/size]2t)[/size]dt=[/size][/size][/size]2∫(t[sup]4[/sup]+t[sup]2[/sup]) dt [br] =2(1/5t[sup]5[/sup]+1/3t[sup]3[/sup])=2(1/5t[sup]5[/sup]+1/3t[sup]3[/sup])=>[b][size=100][color=#0000ff]2/5(x+1)[sup]5/2[/sup]+2/3(x+1)[sup]3/2[/sup]+C[/color][/size][br][/b][br][b]＜sinx＝ｔとおき、cosxdxをdtにおきかえる＞[br][/b][/size][color=#0000ff]（例）[/color]不定積分∫(sin[sup]2[/sup]x)cosx dxは？[br] 置換積分のｘとｔを入れ替えて、式を逆から見る。[br] t=G(x)=sin(x)とおくと、g(x)=cos(x)。 [color=#6aa84f]cos(x)dx==>dt[/color]におきかえる。f(t)=t[sup]2 [/sup][br][size=150][b] ∫f(G(x))g(x)dx=[/b][size=150][b]∫(sinx)[/b][sup]2[/sup][b]cos(x)dxとして、[br] ＝[/b][size=150][b]∫f(t)dt[/b][size=100][b]=[/b][size=150]∫t[sup]2[/sup][/size][size=150]dt=1/3t[sup]3[/sup]=>[color=#0000ff][b]1/3sin[sup]3[/sup]x+C[/b][br][/color][/size][/size][/size][/size][/size][color=#0000ff]（例）[/color]不定積分∫(1/cosx) dxは？[br] 置換積分のｘとｔを入れ替えて、式を逆から見る。[br] ∫(cosx/cos[sup]2[/sup]x) dx=∫(cosx/(１−sin[sup]2[/sup]x)) dx[br] sin(x)=tとおくと、g(x)=cos(x)。[color=#38761d]cos(x)dx==>dt[/color]におきかえる。f(t)=1/t[sup]2[/sup][br][size=150][b] ∫f(G(x))g(x)dx=[/b][size=150][b]∫1/(1-sin[sup]2[/sup]x)・[/b][b]cos(x)dxとして、[br]=[b]∫f(t)dt=[/b][/b][size=150][b]∫1/(1-t[sup]2[/sup])dt[/b][size=100][b]=[br][math]\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)dt=\frac{1}{2}\left(\int\frac{1}{1-t}dt+\int\frac{1}{1+t}dt\right)=\frac{1}{2}\left(-ln\left|1-t\right|+ln\left|1+t\right|\right)+C[/math][br]=[math]\frac{1}{2}ln\frac{1+sinx}{1-sinx}+C[/math][/b][/size][/size][/size][/size][br]