[size=200][b][color=#38761d][size=150]3. Exponentialfunktionen | [/size][/color][/b][/size][math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math] mit [math]a\in\mathbb{R}^+[/math][math]\setminus[/math][math]\left\{1\right\}[/math][br][br]Die Graphen von Exponentialfunktionen nennt man [b]Exponentialkurven[/b].[br]Die [b]Besonderheit[/b] bei ihnen ist, dass [b]x der Exponent[/b] ist.[br][br]Der [color=#f1c232][b]Fakor b [/b][/color][b]streckt [/b]bzw. [b]staucht [/b]den Graphen [b]entlang der y-Achse[/b] [br]und [b]spiegelt[/b] ihn [b]an der x-Achse[/b], wenn [math]b<0[/math][br][br]Die [b][color=#741b47]Basis a[/color][/b] bewirkt den selben Effekt, aber [u]nicht[/u] direkt proportional.[br][color=#a61c00][b]Wichtig[/b][/color] ist, dass [b][color=#4c1130]a[/color] nicht [b]≤[/b] 0[/b] sein darf und den Graphen [b]an der y-Achse[/b] [b]spiegelt[/b], wenn [math]a<1[/math][br][br][br][br]Exponentialfunktionen besitzen grundlegend folgende [b]Eigenschaften[/b]:[br][br]- [b]Definitionsbereich[/b] [math]D_f=\mathbb{R}[/math][br]- [b]Wertebereich[/b] [math]W_f=\mathbb{R}^+[/math], wenn [color=#f1c232]b[/color] > 0 [br] bzw. [math]W_f=\mathbb{R}^-[/math], wenn [color=#f1c232]b[/color] < 0[br]- [b][u]keine[/u] Nullstellen[br][/b]- [b]y-Achsenabschnitt[/b] bei y= [color=#f1c232]b[/color][br]- [b]Stetigkeit[/b]: stetig auf D[sub]f[/sub][br]- [b]Differenzierbarkeit: [/b]differenzierbar auf D[sub]f[/sub][br]- x-Achse als[b] waagreche[/b] [b]Asymptote[br][br][br][/b]Natürlich können die [b]Eigenschaften[/b] sowie der [b]Graph[/b] [br]durch die bei [b]0.[/b] erwähnten [b]Parameter verändert werden[/b]![br][br][br]Möchte man zu einem [b]Wert f(x)[/b] die [b]Stelle x[/b] berechnen, so benötigt man den [b]Logarithmus[/b]:[br][br] [math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\frac{f\left(x\right)}{b}=a^x[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]log_a\left(\frac{f\left(x\right)}{b}\right)=x[/math]