Ist die Schnittkurve der Kugel mit einer zweiten Quadrik einteilig ohne Doppelpunkte, so besitzt die Schnittkurve 2 orthogonale Symmetriekreise. Die 4 Brennpunkte liegen paarweise symmetrisch auf den Symmetriekreisen. Durch jeden Punkt S auf einem Symmetriekreis, von den Brennpunkten abgesehen, geht genau eine der, vom Symmetriekreis verschiedenen, konfokalen Quartiken. Wir betrachten den Symmetriekreis K₀ durch F₁ und F₂. Der Scheitelkreis (punktiert) ist ein die Quartik doppelt-berührender Kreis. Durch jeden Punkt der Quartik geht ein Kreis aus dem hyperbolischen Kreisbüschel durch F₁ und F₂ und ein Kreis aus dem elliptischen Kreisbüschel mit den Grundpunkten F₃ und F₄. Die Quartik ist Winkelhalbierende dieser beiden Kreise. Die wechselseitige Zuordnung der sich auf der Quartik schneidenden Kreise ist verblüffend einfach: man nehme einen Kreis aus dem einen Kreisbüschel, spiegele einen der Schnittpunkte mit K₀ am Scheitelkreis, und bestimme zum Bildpunkt den zugehörigen Kreis aus dem anderen Büschel: die Kreise schneiden sich, wenn sie sich reell schneiden, auf der Quartik! Hierzu die Konstruktionen 12, bzw. 34. Leider ist uns keine einfache Konstruktion des zweiten Scheitelkreises aus dem durch S vorgegebenen ersten Scheitelkreis gelungen! Bewegen Sie den hell-lila Kreis so, dass er als zweiter Scheitelkreis dienen kann! Die Leitkreis-Konstruktionen beruhen auf der folgenden allgemeinen Eigenschaft aller bizirkularen Quartiken: zu jeder Symmetrie gibt es die Quartik doppelt-berührenden Kreise. Spiegelt man einen ausgewählten Brennpunkt an den doppelt-berührenden Kreisen einer Schar, so liegen die Bildpunkte auf einem Kreis: dem zugehörigen Leitkreis. Dieser Leitkreis gehört dem elliptischen Kreisbüschel aus den beiden anderen Brennpunkten an. Brennpunkt und zugehöriger Leitkreis sind auch durch die oben beschriebene Zuordnung miteinander verknüpft: der Brennpunkt als Punktkreis wird durch die Zuordnung auf den Leitkreis abgebildet!

Diese Seite ist Teil des geogebra-books Kugel-Kegel-Schnitte (August 2018)