1.Concepto de recta como lugar geométrico y deducción general de las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas
La Recta en lo que corresponde a un lugar geométrico, se le asocia como aquel lugar en el cual existen 2 posiciones y esas son equidistadas a través de una longitud que hemos denominado magnitud de tal manera que la concepción total de todo el entorno es lo que con constituye el lugar geométrico tal como se observa, en la siguiente imagen:[br][br][img]https://1.bp.blogspot.com/-eMngq2NcAhw/WNzQxopWPFI/AAAAAAAAAoU/Xe972-ZILPgGpIIsBkQ_tijakJaVsmkvgCLcB/s400/lugargeom.gif[/img][br]Para definir en forma vectorial una recta en R[math]_3[/math], es suficiente conocer un punto de la recta y un [i][b]vector director[/b][/i] que indique la dirección de la misma, o sea un vector paralelo a la recta.[br]
Ecuación vectorial de la recta
Dados un vector [math]\vec{v}[/math]=(v1,v2,v3) y un punto P[math]_0[/math](x[math]_{ }_0[/math],y[math]_0[/math],z[math]_0[/math]), nos proponemos hallar la ecuación de la recta [b]r[/b] que pasa por el punto P[math]_0[/math] y es paralela al vector [math]\vec{v}[/math][br]Consideremos un punto P(x,y,z) perteneciente a la recta [i]r[/i]. El vector [math]\vec{P_0}\vec{P}[/math] resultará paralelo al vector director [math]\vec{v}[/math][br]
[math]\vec{P_0}\vec{P}[/math]=α[math]\vec{v}[/math][br] (x–x[math]_0[/math],y–y[math]_0[/math],z–z[math]_0[/math])=α(v[math]_1[/math],v[math]_2[/math],v[math]_3[/math])[br][b](x,y,z)=(x[/b][math]_0[/math][b],y[/b][math]_0[/math][b],z[/b][math]_0[/math][b])+α(v[/b][math]_1[/math][b],v[/b][math]_2[/math][b],v[/b][math]_3[/math][b]), α∈R[/b] [b]Ecuación vectorial de la recta[/b]
Ecuación paramétricas de la recta
[math][/math]Hemos visto que la ecuación vectorial de una recta es:[br] (x,y,z)=(x[math]_0[/math],y[math]_0[/math],z[math]_0[/math][math][/math])+α(v[math]_1[/math],v[math]_2_{ }[/math],v[math]_3[/math])[br]Por igualdad de vectores:[br] [b]x=x[/b][math]_0[/math][b]+ α v[/b][math]_1[/math][b][br] y=y[/b][math]_0[/math][b]+α v[/b][math]_2[/math][b] α∈R[br] z=z[/b][math]_0[/math][b]+α v[/b][math]_3[/math] [br] [b] [br] Éstas son las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta[/b]
Ecuaciones simétricas de la recta
Si v1,v2,v3 son distintos de cero, entonces:[br][br][math][/math], α=[math]\frac{x-x_0}{v_1}[/math] ,α= [math]\frac{y-y_0}{v_2}[/math] α=[math]\frac{z-z_0}{v_3}[/math][br]Igualando, resulta:[br][math]\frac{x-x_0}{v_1}[/math]=[math]\frac{y-y_0}{v_2}[/math] =[math]\frac{z-z_0}{v_3}[/math] [b] Ecuaciones simétricas de la recta[/b]
Dadas las ecuaciones[br][math]\frac{x-1}{2}[/math]=[math]\frac{y-3}{2}[/math]=[math]\frac{z+2}{4}[/math][br][br]¿Cuál un punto por el que pasa la recta y cuál es su vector director?[br]