Betrachten wir mal die Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x)=\frac{1}{x}[/math]. Hierzu findest du nach den bisherigen Rechenregeln keine Stammfunktion. Dennoch kann man diese Funktion integrieren. Du siehst hier den Graphen der Funktion [math]f[/math] sowie das Integral der Funktion [math]f[/math] über dem Intervall [math]I=[1;b][/math]. Schauen wir uns mal die Integralfunktion [math]L_{1}(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt[/math] an.
Warum existiert zur Funktion [math]f[/math] mit [math]f(x)=\frac{1}{x}[/math] eine Integralfunktion [math]L_1[/math]?
Erkläre, warum man das Integral [math]L_{1}(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}\,dt[/math] nicht mithilfe einer Stammfunktion für Potenzen bestimmen kann.
Erkläre mithilfe des Graphen, warum man nicht das Integral [math]L_{1}(-2)=\int_{1}^{-2} \frac{1}{t}\,dt[/math] bilden bzw. berechnen kann.
Gib die Definitionsmenge und die Wertemenge der Integralfunktion [math]L_1[/math] an.
Erkläre anhand des Graphen das Grenzwertverhalten der Integralfunktion [math]L_1(x)[/math] für [math]x\to\infty[/math] und für [math]x\to0+[/math]. Was kannst du über die Existenz der beiden uneigentlichen Integrale sagen?
Beschreibe das Monotonie- und das Krümmungsverhalten der Integralfunktion [math]L_1[/math]. Beschreibe, wie du das rechnerisch durchführst. Weise es rechnerisch nach.[br][i]Tipp[/i]: Es hat was mit der Ableitung von [math]L_1[/math] zu tun und damit mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung!
Begründe mithilfe des Monotonieverhaltens, dass die Integralfunktion [math]L_1[/math] genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt und keine Extremstellen.
Für Experten:[br][list=1][*]Zeige, dass [math]L_1'(k\cdot x)=L_1'(x)[/math] gilt.[/*][*]Zeige, dass [math]L_1'\left(x^k\right)=k\cdot L_1'(x)[/math] gilt. [/*][*]Folgere aus den beiden ersten Aussagen die Gleichungen [math]L_1(k\cdot x)=L_1(x)+L_1(k)[/math] und [math]L_1\left(x^k\right)=k\cdot L_1(x)[/math].[/*][/list]