Construindo a parábola do mesmo modo que Apolônio, através da intersecção de um plano com um cone duplo, teremos o seguinte lugar geométrico.

A parábola é um conteúdo que os estudante costumam a ver no nono ano do ensino fundamental e retomado como função quadrática no primeiro ano do ensino médio. Existem muitas aplicações no cotiado que passam despercebidas pela população? Um exemplo é comunicação através dos satélites, onde o usuário instala uma antena parabólica em sua residência e começa a receber o sinal. Este tipo de antena é mais comum para assinantes de televisões fechadas. O nome antena parabólica vem do conteúdo que iniciaremos a seguir.[br][br]Matematicamente falando foi estudado o conteúdo de parábola juntamente com a equação do segundo grau, ou seja, [math]ax^2+bx+c=0[/math] e para encontrar a raiz deste polinômio utiliza-se a conhecida fórmula de Bhaskara ([math]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]). No primeiro ano do ensino médio dar-se-á continuidade no conteúdo como uma função, por exemplo, [math]f\left(x\right)=x^2+2x+1[/math], chamada que função quadrática. [br][br]Na janela a seguir podemos relembrar visualmente o que acontece quando variamos os coeficientes da função.[br]

Definimos parábola como sendo um conjunto de todos os pontos [math]\text{P(x,y)}[/math] que estão a mesma distância da reta [math]r[/math] e do foco [math]F[/math], ou seja, [math]d\left(F,P\right)=d\left(P,r\right)[/math]. [br][br]O foco já conhecemos das outras cônicas. A reta [math]r[/math] é chamada de reta diretriz e a reta perpendicular a [math]r[/math] que passa pelo ponto [math]F[/math] é chamada de eixo focal. Na janela a seguir temos o foco, o ponto [math]\text{P(x,y)}[/math] e no canto superior direito as distâncias. Siga as orientações para verificar.[br][br]1) Mova o ponto [math]\text{P(x,y)}[/math] e verifique o que está acontecendo com as distâncias.[br]2) Mova o foco [math]F[/math] e repita o passo anterior. [br][br]

Note que os valores das distâncias são iguais, ou seja, [math]d\left(F,P\right)=d\left(P,r\right)[/math] até mesmo quando altera-se o foco.

Acabamos de construir a parábola através da definição. Sabemos muitas equações que geram gráficos do mesmo formato, entretanto conhecemos a equação onde o foco não é abordado, portanto precisamos investigar para descobrir uma equação que permita encontrar o foco da parábola de modo simples.[br][br]A partir da definição chega-se a equação reduzida da parábola de modo sutil. Note que na definição aparece um elemento que não tínhamos trabalhado anteriormente com as demais cônicas, a posição de reta diretriz [math]r[/math]. Esta fará uma grande diferença na posição da parábola.[br][br]No primeiro caso trabalharemos com a reta diretriz paralela ao eixo [math]x[/math] e o foco e acima dela.[br][br]Para facilitar os cálculos trabalharemos com o vértice da parábola centrada na origem. Novamente temos dois caminhos que fica a cargo do leitor escolher, diretamente a equação reduzida ou deduzi-la através da definição. Caso queria conhecer a demonstração matemática clique no arquivo a seguir, caso contrário continuemos.

Os valores de [math]x,y[/math] e [math]p[/math] (distância do foco ao vértice) são reais, portanto é comum aparecer radicais e fração que serão eliminados nas operações. [br][br]Equação reduzida da parábola é:

Na janela a seguir insira a equação e perceba que automaticamente aparecerá um controle deslizante para a variável [math]p[/math]. Mude o valor de [math]p[/math] através do controle para verificar o que acontece com a parábola.

Note que a parábola possui seu vértice sobre a origem e de acordo com o valor de [math]p[/math], a parábola muda a concavidade. Se realizarmos um pensamento análogo a descentralização da elipse, chegaremos a equação a seguir:

Caso queira entender como encontrar esta equação clique no arquivo.

Nesta segunda etapa vamos investigar o que acontece se trocarmos [math]x[/math] por [math]y[/math] na equação anterior, ou seja,[math]\left(y-y_0\right)^2=2p\cdot\left(x-x_0\right)[/math].[br]Note que se desenvolvermos a equação, supondo valores para [math]x_0=1[/math], [math]y_0=1[/math] e [math]p=\frac{1}{2}[/math], obtemos:[br][math]\left(y-1\right)^2=2\cdot\frac{1}{2}\left(x-1\right)\\[br]\Longleftrightarrow y^2-2y+1=x-1\\[br]\Longleftrightarrow x=y^2-2y+2.[/math][br][br]Veja que a incógnita [math]y[/math] está elevada ao quadrado e não o [math]x[/math].[br][br]Agora vamos construir na janela a seguir a parábola nos seguintes passos.[br][br]1° Digite no canto superior esquerdo, ao lado do + a equação [math]y^2=4px[/math].[br]2° Utilize os controles deslizantes para observar o que está acontecendo com a parábola para diferentes valores de [math]p[/math].[br]

Observe que a parábola apresenta a concavidade para direita ou esquerda dependendo do valor de [math]p[/math]. Esclarecendo o que foi visto no primeiro ano do ensino médio, onde as parábolas construídas apresentavam apenas a concavidade para cima ou para baixo, isso acontece pois era trabalhado em função de [math]x[/math], agora estamos estudando geometria analítica e não funções.[br][br]Na próxima janela de interação vamos investigar o que acontece se mudarmos o termo quadrático.[br][br]1° Digite no canto superior esquerdo, ao lado do + a equação [math]x^2=4py[/math].[br]2° Utilize os controles deslizantes para observar o que está acontecendo com a parábola para diferentes valores de [math]p[/math].

É muito importante conhecer estes conceitos para facilitar a construção do projeto do telescópio.

Anote o quadro a seguir em seu caderno.

Siga os passos a seguir para encontrar a equação reduzida da parábola.[br]Na janela a seguir construa uma parábola em que seu foco seja um ponto aleatório e a reta diretriz também. Encontre a equação reduzida.[br][br]1° Coloque um ponto qualquer no plano cartesiano, desde que o ponto não pertença a reta.[br]2° Vá ao ícone [icon]/images/ggb/toolbar/mode_ellipse3.png[/icon] e utilize a ferramenta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_parabola.png[/icon] para construir a parábola.[br]3° Na equação da parábola no canto esquerdo clique nos três pontinhos e clique em "Configurações".[br]4° No canto direito abriu uma aba, clique em "Álgebra".[br]5° Escolha a equação "[math]4p\left(y-h\right)=\left(x-h\right)^2[/math]".[br][br]Note que no canto esquerdo está a equação procurada.