Untersucht wird das Grenzverhalten von Funktionen im Unendlichen und an besonderen Stellen, z.B. den Lücken des Definitionsbereichs.[br]Geklärt werden soll, wie sich die Funktionswerte y=f(x) beim jeweilig untersuchten Grenzübergang der x-Stellen entwickeln.[br]Typische Ergebnisse sind:[br][list][*][i]"[u]Wenn[/u] x gegenUnendlich strebt, [u]dann[/u] streben die Funktionswerte y gegen plus oder minus Unendlich." [br][/i][/*][*][i]"[u]Wenn[/u] x gegen Unendlich strebt, [u]dann[/u] streben die Funktionswerte y gegen eine feste Zahl." [br][/i][/*][*][i]"[u]Wenn[/u] x gegen die Untersuchungsstelle [/i][math]x_0[/math][i] strebt, [u]dann[/u] streben die Funktionswerte y gegen plus oder minus Unendlich." [/i][i][br][/i][/*][*][i]"[u]Wenn[/u] x gegen die Untersuchungsstelle [/i][math]x_0[/math][i] strebt, [u]dann[/u] streben die Funktionswerte y gegen eine feste Zahl." [br][/i][/*][/list]

Prinzipiell sind mehrere Untersuchungsmethoden gebräuchlich. So ist es möglich anhand geschickter gewählter [b]Testeinsetzungen[/b] das Grenzverhalten der Funktionswerte zu beurteilen. Dabei kann durchaus gerundet werden.[br]Ebenso ist es möglich den Funktionsterm mit Blick auf den untersuchten Grenzübergang durch [b]Termumformungen[/b] und Rundung zu vereinfachen. Dafür ist ein gutes Zahlen- und Termverständnis erforderlich. Problematisch ist stets der Fall der Division durch Null. Allerdings ist der Kehrwert einer Zahl in der unmittelbaren Nähe von Null stets riesig groß (geht gegen plus unendlich) oder sehr, sehr klein (geht gegen minus unendlich).[br]Andererseits ist der Kehrwert einer betragsmäßig sehr großen Zahl - 1000 oder 1000 - stets sehr, sehr nah bei Null und durch Runden zu vernachlässigen.[br]

[b]Aufgabe[/b][br]Untersuche das Verhalten der Funktion [math]f:f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-2}[/math] im Unendlichen und bei der Definitionslücke.[br][i][b]Lösung[/b][/i]:[br][br][u]A: Grenzübergang: [/u][math]x\longrightarrow\infty[/math][br][i][br]Arbeitsschritte: [br][/i][i][list=1][*][i]Auswählen einiger x-Stellen, die gegen Unendlich streben, [/i][br][/*][*][i]Berechnen der zugehörigen y-Werte und [/i][/*][*][i]Beurteilen des Grenzverhaltens der Funktionswerte.[/i][/*][/list][/i] [br][table][tr][td]x[/td][td][math]f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-2}[/math][/td][/tr][tr][td]100[/td][td][math]\frac{201}{98}\approx\frac{200}{100}=2[/math][/td][/tr][tr][td]1000[/td][td][math]\frac{2001}{998}\approx\frac{2000}{1000}=2[/math][/td][/tr][tr][td]Wenn [math]x\longrightarrow\infty[/math],[br][/td][td]dann [math]\text{f(x)}\longrightarrow2[/math].[/td][/tr][/table][br][u]B: Grenzübergang [/u][math]x\longrightarrow-\infty[/math][br][br]analoge Betrachtungen[br][br][u]C: Annäherung der x-Stellen von links gegen die Definitionslücke[/u][br][i][br]Arbeitsschritte: [br][/i][list=1][*][i]Ermitteln der Definitionslücke. Nullstelle des Nenners: [/i][i][/i][math]x_0=2[/math][/*][*][i]Auswählen einiger x-Stellen, die kleiner als 2 sind, aber gegen 2 streben, [/i][br][/*][*][i]Berechnen der zugehörigen y-Werte und [/i][/*][*][i]Beurteilen des Grenzverhaltens der Funktionswerte.[/i][br][/*][/list][i]Rechnungen:[/i][br][table][tr][td]x[/td][td][math]f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-2}[/math][/td][/tr][tr][td]1,9[/td][td][math]\frac{3,8}{-0,1}\approx\frac{4}{-0.1}=-40[/math][/td][/tr][tr][td]1,99[/td][td][math]\frac{3,98}{-0,01}\approx\frac{4}{-0,01}=-400[/math][/td][/tr][tr][td]Wenn [math]x\longrightarrow2^-[/math],[br][/td][td]dann [math]\text{f(x)}\longrightarrow-\infty[/math].[/td][/tr][/table][br][u]D: Annäherung der x-Stellen von rechts gegen die Definitionslücke[/u][br][br]Analoge Betrachtung mit x-Stellen, die größer als 2 sind.[br][br][center][/center][table][tr][td]x[/td][td][math]f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-2}[/math][/td][/tr][tr][td]2,1[/td][td][math]\frac{4,2}{0,1}\approx\frac{4}{0.1}=40[/math][/td][/tr][tr][td]2,01[/td][td][math]\frac{4,02}{0,01}\approx\frac{4}{0,01}=400[/math][/td][/tr][tr][td]Wenn [math]x\longrightarrow2^+[/math],[br][/td][td]dann [math]\text{f(x)}\longrightarrow\infty[/math].[/td][/tr][/table]

[b]Aufgabe[/b][br]Untersuche das Verhalten der Funktion [math]f:f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-2}[/math] im Unendlichen und bei der Definitionslücke.[br][i][b]Lösung[/b][/i]:[br][br][u]A: Grenzübergang: [/u][math]x\longrightarrow\infty[/math][br][i][br]Arbeitsschritte: [br][/i][list=1][*]Runden von Zählerterm und Nennerterm für [math]x\longrightarrow\infty[/math][/*][*]Beurteilen des Grenzverhaltens des Restquotienten.[/*][/list]Rundungen:[br][math]f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-2}\approx\frac{2x}{x}=2[/math], also wenn [math]x\longrightarrow\infty[/math],dann [math]\text{f(x)}\longrightarrow2[/math][br][br][u]B: Grenzübergang: [/u][math]x\longrightarrow-\infty[/math][br][br]analoge Betrachtungen[br][br][u]C: Grenzübergang für x von rechts gegen die Definitionslücke[br][/u][br]Die Definitionslücke liegt bei [math]x_0=2[/math][br]Rundungen:[br]Zähler: [math]p\left(x\right)=2x+1\approx2\cdot2+1=5[/math] und [br]Nenner: [math]q\left(x\right)=x-2\longrightarrow0[/math] , aber [math]x-2>0[/math]. Das heißt, der Kehrwert des Nenners: [math]\frac{1}{q\left(x\right)}[/math] strebt gegen [math]\infty[/math].[br]Also strebt der Quotient [math]f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}\approx5\cdot\frac{1}{q\left(x\right)}[/math] gegen [math]+\infty[/math].[br][br][u]D: Grenzübergang für x von links gegen die Definitionslücke[br][/u][br]Rundungen:[br]Zähler: [math]p\left(x\right)=2x+1\approx2\cdot2+1=5[/math] und [br]Nenner: [math]q\left(x\right)=x-2\longrightarrow0[/math] , aber [math]x-2<0[/math][br]Also strebt der Quotient [math]f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}[/math] gegen [math]-\infty[/math].