[color=#0000ff][i]nota[/i][/color]: puedes abrir este material en la [i]Calculadora Gráfica 3D[/i] con este enlace: [url=https://www.geogebra.org/3d/pe9wgzjs]https://www.geogebra.org/3d/pe9wgzjs[/url]

[color=#0000ff][i]nota[/i][/color]: puedes abrir este material en la [i]Calculadora Gráfica 3D[/i] con este enlace: [url=https://www.geogebra.org/3d/u332rret]https://www.geogebra.org/3d/u332rret[/url]

Se sabe que [math]1+2+3+...+n=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}[/math] . También se sabe que [math]1.1+2.2+3.3+...n.n=\frac{n.\left(n+1\right).\left(2n+1\right)}{6}[/math] aunque es más difícil de probar. Generalmente, esta última igualdad se prueba por inducción, pero esta prueba esconde el aspecto gemétrico del lado derecho de la igualdad.[br]Recientemente, leí una explicación del tipo "demostración sin palabras" de esta importante igualdad, publicada por Man-Keung Siu de la Universidad de Hong Kong. [br]Por razones técnicas, el applet está limitado a [math]n\le3[/math]. Sin embargo, si descargas el material en la versión de escritorio, puedes incrementar el valor de [math]n[/math]. De todos modos, la prueba es fácil de entender incluso si [math]n=3[/math]. [br]Para todos los casos, tienes que considerar que la altura de cada nivel es 1.

En ralidad, la igualdad probada es [math]1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+\ldots+n\cdot n=\frac{n\cdot(n+\frac{1}{2})\cdot(n+1)}{3}[/math], que es equivalente a la anteriro.