Vi [i]definerer[/i] 10-tals-logaritmen, som den [i]omvendte[/i] funktion til [math]y=\text{10^x}[/math].[br]Det vil sige, at:[br][quote]10-tals-logaritmen til et tal er den eksponent, som 10 skal opløftes til for at få tallet.[/quote]10-tals-logaritmen betegner vi med [math]\text{x=\log(y)}[/math].[br][br]Nedenfor vises grafen for [math]y=10^x[/math].[br][br]Den blå linje illustrerer vores normale "læseretning" for [math]y=\text{10^x}[/math], mens den røde linje illustrerer, hvordan man læser den baglæns, når [math]\text{\log(y)}[/math] skal bestemmes.[br]F.eks. kan vi med den blå linje se, at [math]10^{1,3}=19,953[/math] og med den røde linje, at [math]\log\left(4\right)=0,602[/math].
Bestem vha. grafen tallene log(0,4), log(8) og log(23). Tjek resultaterne i Maple (Husk, at det er [math]\log_{10}\left(...\right)[/math]).[br][i]Du kan klikke på skyderne og bruge piletasterne til at indstille præcist.[/i]
log(0,4)=-0,398[br]log(8)=0,903[br]log(23)=1,362
Undersøg hvilke tal, der har negative logaritmer.[br]Er der et tal, hvor logaritmen er 0?
Alle tal mellem 0 og 1 (ikke 0 og 1) har negative logaritmer.[br]log(1)=0
Argumentér for, at [i]definitionsmængden[/i] for log-funktionen er [math]\text{Dm}\left(\log\right)=\mathbb{R}_+[/math] (Husk, at [math]\mathbb{R}_+[/math] er [i]alle positive tal[/i]).[br]Argumentér for, at [i]værdimængden[/i] for log-funktionen er [math]\text{Vm}\left(\log\right)=\mathbb{R}[/math] (Husk, at [math]\mathbb{R}[/math] er [i]alle tal[/i]).[br][br]Hint: Husk, at definitionsmængden er de tal, som kan indsættes i funktionen (i det her tilfælde de mulige [i]y[/i]-værdier), og værdimængden er de mulige værdier for log([i]y[/i]).
[br][math]\mathbb{R}_+[/math] er de positive reelle tal. Altså alle positive tal (inkl. irrationale tal som f.eks. [math]\pi[/math]).[br]Definitionsmængden er de tal, du kan sætte ind på x's plads i log(x). Her kan vi se, det kun er positive tal, da det svarer til grafens værdier på 2. aksen. [br][br][math]\mathbb{R}[/math] er de reelle tal. Altså alle tal (inkl. irrationale tal som f.eks. [math]\pi[/math]).[br]Værdimængden er de tal, som y kan være, når y=log(x). Her kan vi se, at det er alle tal, da det svarer til grafens mulige værdier på 1. aksen.
Argumentér ud fra grafen for, at [math]10^{\log\left(y\right)}=y[/math].
Ved at starte på 1. aksen ved [math]\log\left(y\right)[/math] og så benytte grafen forlæns op på 2. aksen, kan vi se, at [math]10^{\log\left(y\right)}=y[/math].
Argumentér ud fra grafen for, at [math]\log\left(10^x\right)=x[/math].
Ved at starte på 2. aksen ved [math]10^x[/math] og så benytte grafen baglæns ned på 1. aksen, kan vi se, at [math]\log\left(10^x\right)=x[/math].
Løs følgende ligninger med papir+blyant (de kan ikke løses vha. animationen):[br][b]HINT:[/b] Udnyt, at [math]10^{\log(x)}=x[/math].[br]a) [math]\large \log(x) = 1[/math][br]b) [math]\large \log(x) = 2[/math][br]c) [math]\large \log(x) = -3[/math][br]d) [math] 5\large \log(x-1) = 15[/math]
a) [math]\large x = 10[/math][br]b) [math]\large x = 100[/math][br]c) [math]\large x = 0,001[/math][br]d) [math]\large x = 1001[/math]