Função Afim: Conceitos e Aplicações com GeoGebra
Este livro foi elaborado com o objetivo de promover a aprendizagem da função afim por meio dos recursos interativos do GeoGebra, integrando conceitos teóricos e representações gráficas dinâmicas. Ao longo do material, são apresentados conteúdos, gráficos, aplicações do cotidiano, exemplos e atividades que estimulam a exploração e o raciocínio lógico, favorecendo uma aprendizagem mais significativa e interativa.
Table of Contents
- Introdução à função afim
- Definição e coeficientes da função afim
- Observando a função
- Parâmetros a e b da função afim
- Função afim : situações cotidianas
- Gráfico
- Gráfico da função afim
- Atividades sobre o gráfico da função afim (reta)
- Zero da função
- Zero da Função afim
- Tipos de funções
- Introdução: tipos de funções
- Função crescente
- Função decrescente
- Função constante
- Função linear
- Exercícios
- Exercícios: Função afim
- Atividades - Parte 01
- Atividades - Parte 02
- Vídeo: Determinação da função afim
- Referências
- Fontes consultadas
Definição e coeficientes da função afim
[justify] O estudo das funções é fundamental para a correta interpretação de diferentes representações matemáticas, bem como para a análise do comportamento de grandezas e a resolução eficiente de problemas. Nesse contexto, a função afim destaca-se por sua ampla aplicabilidade, contribuindo de maneira significativa para o desenvolvimento do raciocínio lógico e para a utilização da Matemática em diversos contextos. Nesta seção, serão apresentados sua definição e seus coeficientes.[br][br][b]Definição da função afim[/b][br][br] Uma função de [math]\mathbb{R}[/math] em [math]\mathbb{R}[/math] em recebe o nome de função afim se existirem números reais [i]a [/i]e [i]b [/i]chamados de coeficientes da função afim com [i]a [math]\ne[/math]0, [/i]tais que[i] f(x) = ax+b [/i]para todo [i]x [math]\in\mathbb{R}[/math] . [/i]Também podemos representar uma função afim por [i]y = ax+b.[/i][br]Veja os exemplos a seguir:[br][br][i]f(x) = 3x + 2 [/i]em que [i]a[/i] = 3 e [i]b [/i]= 2[br][i]f(x) = - 2x + 1 [/i]em que [i]a[/i] = - 2 e [i]b [/i]= 1 [br][i]f(x) = x - 3 [/i]em que [i]a[/i] = 1 e [i]b[/i] = - 3[br][i]f(x) = 7x [/i]em que [i]a[/i] = 7 e [i]b[/i] = 0[br][br][b]Coeficientes da função afim[/b][br][br] O coeficiente [i]a[/i] da função[i] f(x)= ax+b[/i] é denominado [b]coeficiente angular[/b] ou declividade da reta representada no plano cartesiano.[br][br] O coeficiente [i]b[/i] da função[i] f(x)= ax+b[/i] é denominado [b]coeficiente linear[/b] ou termo independente.[br][br] Na função f(x) = - 2x +1 , por exemplo, o coeficiente angular é - 2 e o coeficiente linear é 1. Observe que, se x = 0, temos que y = 1. Sendo assim, o terno independente de x é a ordenada (valor de y) do ponto em que a reta intersecta o eixo y.[/justify][br]
Gráfico: f(x) = - 2x + 1
Gráfico da função afim
O estudo dos gráficos da função afim é essencial para a compreensão visual do comportamento dessa função. Por meio da representação no plano cartesiano, é possível identificar características importantes, como a inclinação da reta e o ponto em que ela intercepta o eixo yyy. [br] A análise gráfica permite, ainda, interpretar de forma mais intuitiva a relação entre as grandezas envolvidas, facilitando a compreensão e a resolução de problemas em diferentes contextos matemáticos e práticos.[br][br][b]Gráfico da função afim[br][/b][br] O gráfico cartesiano da função[i] f(x)= ax+b[/i] é uma [b]reta[/b].[br] Para montar os gráficos da função afim atribuímos valores para x e calculamos o valor de y. Como dois pontos distintos determinam uma única reta, podemos calcular e marcar dois pontos da função do 1º grau (afim) para construir corretamente o seu gráfico.[br] Observe os exemplos a seguir.[br][br][b]Exemplo 1[/b]: Vamos construir o gráfico [i]f(x) = 3x + 1[/i], atribuindo valores para x e calculando o valor de y.[br][br][list][*]Quando x = 0[/*][/list] f(x) = 3 . 0 +1 = 1[br] f(x) =1[br][list][*]Quando x = 1[/*][/list] f(x) = 3 . 1 + 1 = 4[br] f(x) = 4[br][br]Os pontos encontrados foram (0, 1) e (1, 4).[br][br]O gráfico da função é a reta que passa pelos pontos (0,1) e (1,4).
[b]Exemplo 2[/b] : Vamos construir o gráfico [i]f(x) = - x + 4[/i], atribuindo valores para x e calculando o valor de y.[br][br][list][*]Quando x = 0[/*][/list] f(x) = - 0 + 4 = 4[br] f(x) = 4[br][br][list][*]Quando x = 1[/*][/list] f(x) = - (1)+ 4 = 3[br] f(x) = 3[br][br]Os pontos encontrados foram (0, 4) e (1, 3).[br][br]O gráfico da função é a reta que passa pelos pontos (0,4) e (1,3).
Zero da Função afim
O estudo do zero da função afim é fundamental para compreender um de seus principais aspectos: o ponto em que o valor da função se anula. Esse conceito permite identificar onde o gráfico da função intercepta o eixo xxx, sendo de grande importância na análise e interpretação de situações matemáticas e problemas do cotidiano. [br] A determinação do zero da função contribui para uma compreensão mais completa do comportamento da função afim em diferentes contextos.[br][br][b]Zero da função afim[br][/b][br] O [b]zero de uma função[/b] é todo número [i]x [/i]cuja imagem é nula, isto é, [i]f(x) = 0. [/i]Dizemos que um número [i]x[/i] é zero da função se, e somente se,[i] f(x) = 0[/i].[br] Para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação do 1º grau: [i]ax+b = 0[/i] , cuja a única solução é dada por:[br][br]x = [math]-\frac{b}{a}[/math][br][br]Fazendo [i]ax + b = 0[/i] com a [math]\ne[/math] 0, temos que :[br][i]ax + b = 0[/i] [math]\Leftrightarrow[/math] [br][i]ax = - b[/i] [math]\Leftrightarrow[/math] [br][i]x[/i] = [math]-\frac{b}{a}[/math]
[b]Exemplo[/b]: O zero da função [i]f(x) = 2x - 1[/i] é [i] x [/i]= [math]\frac{1}{2}[/math] [math]\Leftrightarrow[/math][i] x = 0,5[/i][br]De fato , [br][i] 2x - 1 = 0[br][/i] [math]\Leftrightarrow[/math] [i]2x = 1[br][/i] [math]\Leftrightarrow[/math] [i]x[/i] = [math]\frac{1}{2}[/math][br][math]\Leftrightarrow[/math][i] x = 0,5[/i][br][br]Dessa forma, o zero da função afim é a abscissa do ponto (valor de [i]x[/i]) em que o gráfico intersecta o eixo das abscissas.[br][br]Observe o gráfico . A reta intersecta o eixo das abscissas no ponto (0,5 ; 0).
Praticando ...
1) Determine o zero da função [i]f(x)= 2x−6[/i]
2) Qual é o zero da função [i]f(x)= − 4x+8[/i]?
Introdução: tipos de funções
O estudo dos diferentes tipos de funções é fundamental para compreender o comportamento das relações entre grandezas. A análise dessas classificações permite identificar padrões, prever resultados e interpretar corretamente representações algébricas e gráficas. Ao reconhecer as características de cada tipo de função, o estudante desenvolve maior autonomia na resolução de problemas e na leitura de gráficos.[br] Nesta seção, serão trabalhadas as funções [b] crescente, decrescente, constante e [b]linear[/b][/b], destacando suas principais características.
Exercícios: Função afim
[b][color=#6d9eeb] GRÁFICO FUNÇÃO AFIM[/color][/b]
Função afim - É uma função de domínio real definida por f(x)=ax+b, com a e b reais, com a ≠0. No aplicativo abaixo podemos manipular o gráfico da função afim, mediante variação dos coeficientes a e b.
[b][color=#6d9eeb]1.[/color][/b] Manipule o coeficiente [math]a[/math] e indique os efeitos dessa variação no gráfico da função afim [math]f(x)=ax+b[/math].
[b][color=#6d9eeb]2. [/color][/b]Manipule o coeficiente[math]b[/math] e indique os efeitos dessa variação no gráfico da função afim [math]f(x)=ax+b[/math].
Fontes consultadas
GUIDORIZZI, H.L. [b]Um curso de cálculo[/b]. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v.1.[br][br]IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. [b]Fundamentos de matemática elementar[/b]: conjuntos e funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.[br][br]LIMA, Elon L. [i]et al[/i]. [b]A Matemática do Ensino Médio[/b]. 11. ed. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.[br][br]PROFESSOR FERRETTO. [b]Função do Primeiro Grau ( Função Afim)[/b]: Determinando a Função (Aula 2 de 9). YouTube, [s.d.]. Disponível em:https://youtu.be/-EnodYhcQw4?si=y0I9J-LUc-8RgEYy. Acesso em: 25 mar. 2026.[br][br]SILVA, Marcos Noé Pedro da. [b]Raiz de uma Função do 1º Grau[/b]; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-uma-funcao-1-grau.htm. Acesso em 24 de março de 2026.[br]