[color=#0000ff][i]참고[/i][/color]: 아래 링크를 클릭하면 이 자료를 열 수 있습니다. [br] [url=https://www.geogebra.org/3d/pe9wgzjs]https://www.geogebra.org/3d/pe9wgzjs[/url]

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 [math]1+2+3+\ldots+n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}[/math] 은 매우 잘 알려진 공식이다. [math]1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+\ldots+n\cdot n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)}{6}[/math] 도 잘 알려져 있기는 하지만 증명하기는 쉽지 않다. 보통 두 번째 공식은 수학적 귀납법을 사용하여 증명하지만 그것은 공식이 담고 있는 기하적인 배경을 보여주지는 못한다. [br]최근 "말이 필요없는 증명(proof without words)"에서 이 중요한 공식에 대한 [url=http://www.maa.org/sites/default/files/Siu15722.pdf]설명[/url]을 보았는데 이는 홍콩 대학의 Man-Keung Siu에 의한 것이었다. 마침내 나는 마티유 블라서(Mathieu Blossier)와 지오지브라 팀이 개발한 지오지브라 3차원 환경에서 이에 대한 시각화를 하였다. [br]기술적인 이유로  [math]n\le3[/math] 으로 제한되어 있다. 이 자료를 만일 다운로드 받는다면 데스크톱 컴퓨터에서는 수를 더 크게 늘릴 수 있을 것이다.  [math]n=3[/math]에 대하여 증명을 이해하기 쉬우며 각 층의 높이를 1로 생각해야 한다.

사실 증명된 식은 [math]1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+\ldots+n\cdot n=\frac{n\cdot(n+\frac{1}{2})\cdot(n+1)}{3}[/math] 이며 본질적으로 이전 식과 동일하다.