Demonstrează sintetic și vectorial că mijloacele laturilor unui patrulater convex oarecare sunt vârfurile unui paralelogram.

[math]\vec{EH}=\vec{EA}+\vec{AH}=\frac{1}{2}\vec{BA}+\frac{1}{2}\vec{AD}[/math]= [math]\frac{1}{2}[/math]([math]\vec{BA}+\vec{AD}[/math])=[math]\frac{1}{2}\vec{BD}[/math] (1)[br][br]Analog, se obține [math]\vec{FG}=\frac{1}{2}\vec{BD}[/math] (2)[br]Din (1) și (2) avem că [math]\vec{FG}=\vec{EH}[/math] și pentru dreptele suport ale vectorilor [math]\vec{FG}[/math] și [math]\vec{EH}[/math] sunt diferite rezultă că [math]FG\parallel EH[/math] și [math]FG=EH[/math].[br]Patrulaterul EHGF are 2 laturi opuse paralele și de lungimi egale de unde rezultă că EHGF este paralelogram.

Se aplică Teorema lui Thales în triunghiurile ABD și, respectiv, CDB.[br]Avem [math]\frac{AE}{EB}=\frac{AH}{HD}=1[/math] deci [math]EH\parallel BD[/math] (1). Analog, obținem [math]FG\parallel BD[/math] (2). [br]Din (1) și (2) rezultă că [math]EH\parallel FG[/math] (3).[br]Apoi, aplicăm Teorema lui Thales în triunghiurile ABC și, respectiv, ADC și printr-un raționament similar cu raționamentul anterior obținem că [math]EF\parallel HG[/math] (4).[br]Din (3) și (4) rezultă că patrulaterul EHGF are 2 perechi de laturi opuse paralele, deci EHGF este paralelogram.

EH și FG sunt linii mijlocii în triunghiul ABD și, respectiv, CBD.[br]Se obține că [math]EH\parallel BD\parallel FG[/math]și că [math]EH=\frac{BD}{2}=FG[/math].[br]Rezultă că patrulaterul EHGF are 2 laturi opuse paralele și de lungimi egale de unde rezultă că EHGF este paralelogram.