Studiere im GeoGebra Manual ([url=https://geogebra.github.io/docs/manual/de]https://geogebra.github.io/docs/manual/de[/url]) die Einträge zu [b]"Listen", "Folgen", "Iteration", "Iterationsliste" [/b]und [b]"Summe".[/b]

In einem Tierreservat besteht die Population einer Tierart anfangs aus 10 Tieren. Man schätzt, dass in diesem Reservat nicht mehr als 1000 Tiere dieser Art leben können. Es ist N(n) die Anzahl der Tiere nach n Jahren. Berechne N(n) für n = 0, 1, 2, ..., 20 unter der Annahme, dass ein logistisches Wachstum mit Proportionalitätsfaktor C = 0,001 und eine Schranke K=1000 vorliegt. Die Rekursionsvorschrift für logistisches Wachstum lautet[math]N(n+1)=N(n)+C\cdot N(n)\cdot(K-N(n)).[/math][br]([i]Mathematik verstehen, Nr. 4.82, Woschitz, 2024)[/i][br]

Die Beschäfitigung mit Folgen in der Mathematik hat eine Jahrtausende alte Tradition. Die sogenannte Fibonacci-Folge gab schon in der Antike Menschen zu denken, nachweislich in Griechenland und Indien. Der klingende Name geht hingegen auf den mittelalterlichen Mathematiker Leonardo da Pisa (auch genannt Fibonacci, ~1170-1250) zurück. Er veranschaulicht diese bemerkenswerte Folge in einem Gedankenexperiment:[br][br]"Ein Mann hielt ein Paar Kaninchen an einem Ort, der ringsum von einer Mauer umgeben war, um herauszufinden, wieviele Paare daraus in einem Jahr entstünden. Dabei ist es ihre Natur, jeden Monat ein neues Paar auf die Welt zu bringen, und sie gebären erstmals im zweiten Monat nach ihrer Geburt.[br]Weil das obengenannte Paar schon im ersten Monat gebiert, kannst du es verdoppeln, so dass nach einem Monat zwei Paare da sind. Von diesen gebiert eines, das heisst das erste, im zweiten Monat wieder; und so gibt es im zweiten Monat 3 Paare [...]" (Leonardo Fibonacci, [i]Liber abbaci[/i], digitale Bibliothek der ETH-Zürich, online unter https://library.ethz.ch/sammlungen-und-archive/online-zugaenge/virtuelle-ausstellungen/fibonacci-un-ponte-sul-mediterraneo/bedeutung-fibonaccis-fuer-die-gegenwart/kaninchenaufgabe.html)[br][br]So entsteht die unendliche Folge (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...). Stelle die Folge in GeoGebra als Liste von Punkten dar. Erzeuge eine solche Liste sowohl mithilfe einer Rekusrionsvorschrift in der Tabellenansicht als auch mithilfe des Befehls "Iterationsliste".

Die Kreiszahl [math]\pi[/math] gehört unbestritten zu den wichtigsten Grundbausteinen der Mathematik. So verwundert es kaum, dass sich bereits der berühmte Philospoh Archimedes von Syrakus (~ 287–212 v. Chr.) an der Berechnung des konstanten Verhältnisses von Umfang zu Durchmesser des Kreises versuchte. Basierend auf einer bereits bestehenden Idee, ermittelt Archimedes untere und obere Schranken für Pi, indem er dem Einheitskreis regelmäßige Polygone ein- und umschreibt. Aufgrund seiner Anschaulichkeit eignet sich der archimedische Algorithmus auch die Behandlung in Oberstufe. Vorausgesetzt wird die Kenntnis über binomische Formeln, den Strahlensatz und den Satz des Pythagoras.[br][br]a) Versuche, den archimedischen Algorithmus nachzuvollziehen.[br][br]b) Wende diesen anschließend mithilfe der Tabellenansicht an und führe ihn bis zum 20. Approximationsschritt durch. (In den Einstellungen kann "Runden auf 10 Nachkommastellen" aktiviert werden)[br][br]c) Erweitere deine Berechnung nun bis zum 30. Approximationsschritt. Analysiere deine Ergebnisse.[br][br]d) Stelle deine Ergebnisse in der Grafikansicht anhand einer monoton steigenden Folge (untere Schranke) und einer monoton fallenden Folge (obere Schranke) mit Grenzwert [math]\pi[/math] dar.

Sechs durch einen Punkt Q laufende Geraden schließen miteinander gleich große Winkel ein. Der Punkt P liegt auf einer dieser Geraden und seine Entfernung von Q beträgt 6 cm. Von P aus wird durch fortlaufendes, endloses Fällen des Lotes auf die jeweils nächste Gerade ein spiralförmiger Linienzug erzeugt. Wie lang ist dieser?[br][i]Mathematik verstehen, Nr. 8.18, Woschitz, 2024)[/i]