[size=85][size=50][i][b][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]december 2021[/color][/right][/size][/b][/i][/size][/size][size=85][br][math]\hookrightarrow[/math] wikipedia [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_elliptic_functions][color=#0000ff][u][i][b]Jacobi elliptic functions[/b][/i][/u][/color][/url][br]"Mathematically, Jacobian elliptic functions are doubly periodic meromorphic functions on the complex plane."[br]. . . "The complex plane can be replaced by a complex torus."[br][br]"[color=#9900ff][i][b]Doppelt periodisch[/b][/i][/color]" bedeutet: diese [color=#38761D][i][b]elliptischen Funktionen[/b][/i][/color] bilden ein [i][b]Parallelogramm[/b][/i] in der komplexen Ebene [math]\mathbb{C}[/math] [br]in 2 Richtungen periodisch ab in die um [math]\infty[/math] erweiterte kompakte [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math]. [br]Die Richtungen, in welche sich die komplexen Funktionswerte wiederholen, können die Richtungen [br]der Parallelogramm-Grenzen sein: in diesen Richtungen ergeben sich geschlossene Kurven.[br][br][b]Jacobi[/b] ([b]1804 - 1851[/b]) hat [b]12[/b] elliptische Funktionen definiert; aus den folgenden [b]3[/b] von ihnen lassen sich die übrigen erzeugen,[br]wir charakterisieren sie durch ihre [color=#38761D][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color].[br]Der [color=#9900ff][i][b]Modul[/b][/i][/color] [math]k[/math] wird in der Regel [i][b]reell[/b][/i] als [math]1>k>0[/math] angegeben; allerdings könne der [color=#9900ff][i][b]Modul[/b][/i][/color] [math]k[/math] auch komplex sein.[br][/size][list][*][size=85][math]\mathbf{sn\left(z;k\right)}[/math] - [i]sinus amplitudinis[/i] - [br] - [color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color]: [math]\left(\mathbf{sn}'\right)^2=\left(1-\mathbf{sn}^2\right)\cdot\left(1-k^2\cdot \mathbf{sn}^2\right)[/math], [color=#00ff00][i][b] Brennpunkte[/b][/i][/color]: [math]\pm1,\pm\frac{1}{k}[/math][/size][/*][*][size=85][math]\mathbf{cn\left(z;k\right)\[/math] - [i]cosinus amplitudinis[/i] - [br] - [color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color]: [math]\left(\mathbf{cn}'\right)^2=\left(1-\mathbf{cn}^2\right)\cdot\left(1-k^2+k^2\cdot \mathbf{cn}^2\right)[/math], [color=#00ff00][i][b] Brennpunkte[/b][/i][/color]: [math]\pm1,\pm\frac{i\cdot\sqrt{1-k^2}}{k}[/math][/size][/*][*][size=85][math]\mathbf{dn\left(z;k\right)}[/math] - [i]delta amplitudinis[/i] - [br] - [color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color]: [math]\left(\mathbf{dn}'\right)^2=\left(\mathbf{dn}^2-1\right)\cdot\left(1-k^2- \mathbf{dn}^2\right)[/math], [color=#00ff00][i][b] Brennpunkte[/b][/i][/color]: [math]\pm1,\pm\sqrt{1-k^2}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Die Lösungskurven von [math]\mathbf{sn}[/math] und [math]\mathbf{dn}[/math] sind 2-teilig, die von [math]\mathbf{cn}[/math] 1-teilig.[/size]

[size=85]Die [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] der [color=#38761D][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color] oben sind aus der Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] mit Hilfe der [br][color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] "konstruiert".[br]Für [b]sn[/b] und [b]dn[/b] sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color], hier liegen sie auf der reellen Achse, [color=#BF9000][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zu den Achsen und [br]zu einem reellen und einem imaginären [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color].[br]Für [b]cn[/b] liegen die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] paarweise [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color][/size] auf den Achsen.[br]Durch eine einfache [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i] [/color]kann man für die [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size] und die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color][/size] die in den [br]vorangegangenen Aktivitäten aufgezeigte [i][b]Normal-Lage[/b][/i] erreichen.[br]Leider sind in [color=#cc0000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] [color=#38761D][i][b]elliptische Funktionen [/b][/i][/color]nicht implementiert; sonst könnte man die [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] der [color=#38761D][i][b]Differential-[/b][/i][/color][br][color=#38761D][i][b]Gleichungen[/b][/i][/color] einfach als Bilder der achsenparallelen Geraden, stückweise parametrisiert, darstellen, wie dies in[br][color=#cc0000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] zB. für die Exponential-Funktion einfach möglich ist.[br]In [b]mathematica[/b] sind die [color=#38761D][i][b]Jacobi-elliptischen Funktionen[/b][/i][/color] implementiert, die Parameterdarstellung der [color=#38761D][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] ist [br]dort jedoch auch nicht besonders einfach zu verwirklichen. [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiSN.html][color=#0000ff][u][i][b]wolfram: JacobiSN[/b][/i][/u][/color][/url] [br][br]Für das Applet unten wurden für Listen von [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] auf [i]achsenparallelen[/i] [color=#0000ff][i][b]Geradenstücken[/b][/i][/color] die [br]Werte unter der [b]Mathematica[/b]-Funktion [color=#38761D][b]JacobiSN(z;m)[/b][/color] ausgewertet; dabei ist der Modul [color=#38761D][b]m[/b][/color] = [color=#38761D][b]k[sup]2[/sup][/b][/color] , [br][b][math]\mathbf{k}[/math][/b] ist der oben für die [color=#38761D][i][b]Differentialgleichung[/b][/i][/color] von [math]\mathbf{sn(z;k)}[/math] angegebene Parameter. [br]In [b]Mathematica[/b] sind die Punkt-Listen als Listen von komplexen Zahlen gegeben: z.B. [math]\{1.3+2.1\,\mathbf{I},1.3+2.2\,\mathbf{I},...\}[/math].[br]Diese Listen kann man einfach in [color=#cc0000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] als Liste von komplexen Zahlen einfügen und graphisch anzeigen lassen.[br]Im Beispiel ist [math]m=0.5[/math]; die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind also [math]\pm1,\pm\sqrt{\frac{1}{k}}=\pm\sqrt{2}[/math][br]Durch jeden [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] [color=#ff7700][b]z[/b][/color] gehen zwei, orthogonale [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] - im Applet konstruiert als [i][b]Ortskurven[/b][/i] mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color].[br]Da die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]1\mbox{ und }\sqrt{2}[/math] nahe beieinander liegen, gelingt [color=#cc0000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] die Anzeige [br]der [i][b]Ortskurve[/b][/i] für manche Lagen von [color=#ff7700][b]z[/b][/color] nicht.[br]Die Lösungskurven sind [b]2[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] mit den angegebenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color].[br][br]Links: [br][color=#cc0000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] Kap.: [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][color=#0000ff][u][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/u][/color][/url][br] - Kap.: [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168952][color=#0000ff][u][i][b]Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen[/b][/i][/u][/color][/url][br] - Kap.: [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168951][color=#0000ff][u][i][b]Bizirkulare Quartiken - Hermitesche Formen[/b][/i][/u][/color][/url][/size]