Die Pyramide (Höhe 10m, Kantenlänge der Grundfläche 10m) wird durch eine äußere und eine innere Stufenpyramide genähert. Schau dir das Applet zunächst genau an und folge dann den Schritten darunter.
Beschreibe, wie sich das Volumen der äußeren und der innere Stufenpyramide mit zunehmender Stufenzahl verändert.
Begründe, dass die folgende Ungleichung für die Volumina der inneren, der äußeren und der normalen Pyramide gilt, egal wie viele Stufen die Pyramiden haben. [br][math]V_i<[/math][math]V<[/math][math]V_ä[/math]
Das Volumen der echten Pyramide lässt sich nähern, indem das Volumen der einzelnen Stufen berechnet wird. [br]Berechne für n = 10 das Volumen der inneren und der äußeren Pyramide. [br]Tipp: Überlege dir, um wie viel kürzer die Breite der nächsten Stufe jeweils ist. [br]
Stelle basierend auf deinen Ergebnissen eine Vermutung auf, welchen Wert das Volumen der tatsächlichen Pyramide hat.
Das Volumen der Stufenpyramide lässt sich berechnen, indem man das Volumen der Stufen zusammenaddiert. Mache dir zuerst klar,, dass der Term [math]\left(a-\frac{i-1}{n}\cdot a\right)^2\cdot\frac{h}{n}[/math]das Volumen der i-ten Stufe bei insgesamt n Stufen für die äußere Pyramide angibt.
Will man nun alle Stufen zusammen addieren, schreibt man das mathematisch mit einem Summenzeichen: [br]V = [math]\sum_{i=1}^n\left(a-\frac{i-1}{n}a\right)^2\cdot\frac{h}{n}[/math][br]Das bedeutet, dass man den Term hinter dem Summenzeichen mehrmals berechnet und danach alles zusammenaddiert. Hier wird jedes Mal der Wert von i verändert, angefangen bei i = 1 bis zum Wert i = n.
Mit etwas Umformungsmagie kann man das vereinfachen: [br][math]V=\sum_{i=1}^n\frac{ha^2}{n}\left(1-\frac{i-1}{n}\right)^2=\frac{ha^2}{n}\cdot\sum_{i=1}^n\left(1-\frac{i-1}{n}\right)^2[/math]
Wenn man sich jetzt noch etwas mit solchen Summen auskennt, kann man auch das noch weiter vereinfachen, denn es gilt: [br][math] V=\frac{ha^2}{n}\sum_{i=1}^n\left(1-\frac{i-1}{n}\right)^2\xrightarrow{n\rightarrow \infty}\frac{a^2h}{3}[/math][br]Der rechte Teil bedeutet, dass wir nur beliebig große n betrachten, also eine beliebig große Stufenzahl.