[size=85][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][br][/right][br][i][b][color=#ff7700]Parabeln[/color][/b][/i] und ihre [b][i][color=#0000ff]Möbius-Transformierten[/color][/i][/b] besitzen 1 einfachen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f [/color][/b] [br]und einen dreifach zählenden [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [math]\infty[/math].[br]Eine Zerlegung dieser 4 [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] in 2 Punkte-Paare ist nur als { [b][color=#00ff00]f[/color][/b],[math]\infty[/math]} und { [math]\infty[/math],[math]\infty[/math]} möglich.[br]Dies liefert (euklidisch) das [b][i][color=#ff0000]Geradenbüschel[/color][/i][/b] durch [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] und ein [b][i][color=#ff0000]Parallelen-Büschel[/color][/i][/b], z.B. die Parallelen zur [math]y[/math]-Achse.[br][b][i][color=#0000ff]„Leitkreis“ [/color][/i][/b]zu [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] ist jede Orthogonale zum Parallelen-Büschel.[br]Ein [b][i][color=#ff0000]Brennstrahl[/color][/i][/b] aus dem [color=#ff0000][b][i]Parallelen-Büsche[/i][/b][/color][b][i][color=#ff0000]l[/color][/i][/b] schneide den [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] in [b][i][color=#00ffff]q[/color][/i][/b]. Zu dem [b][i][color=#00ffff]Berühr-Kreis[/color][/i][/b] an den [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] in [b][i][color=#00ffff]q[/color][/i][/b] [br]durch [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] gibt es genau einen zum [b][i][color=#00ffff]Berühr-Kreis[/color][/i][/b] orthogonalen [b][i][color=#ff0000]Brennstrahl[/color][/i][/b] durch [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b].[br]Der Schnittpunkt [b][i][color=#ff7700]p[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Brennstrahlen[/color][/i][/b] ist ein Punkt der zugehörigen [b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b], [br]die [b][i][color=#666666]Mittelsenkrechte [/color][/i][/b]von [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] [b][i][color=#00ffff]q[/color][/i][/b] ist eine [/size][size=85][size=85][b][i][color=#666666]Tangente[/color][/i][/b][/size] durch [b][i][color=#ff7700]p[/color][/i][/b] an die [b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b].[br]Gespiegelt an der [b][i][color=#666666]Tangente[/color][/i][/b] werden die [b][i][color=#ff0000]Brennstrahlen[/color][/i][/b] und [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] und [b][i][color=#00ffff]q[/color][/i][/b] vertauscht.[br]Dies ist die übliche [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]-[color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color] Konstruktion der [/size][size=85][size=85][b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b][/size].[br]Die umständlich erscheinende [b]Konstruktionsbeschreibung[/b] ist jedoch im Prinzip für alle in diesem [color=#cc0000][b]book[/b][/color] zur Debatte [br]stehenden [b][i][color=#ff7700]Kurven[/color][/i][/b] mit 4 [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] gültig![/size]

[size=85][br]Geht man zu den orthogonalen [b][i][color=#ff0000]Brennkreis-Büscheln[/color][/i][/b] von den oben verwendeten [color=#ff0000][i][b]Büscheln[/b][/i][/color] über (konzentrische [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] um [b][i][color=#00ff00]f[/color][/i][/b] [br]und Parallelen zur [math]x[/math]-Achse), so sind die [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Parabeln[/color][/i][/b] ebenfalls [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] dieser [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b].[br]Nun funktioniert eine [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] - [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] Konstuktion nicht mehr![br]Die Spiegelung-Punkte des [b][i][color=#00ff00]Brennpunkts[/color][/i][/b] an den [b][i][color=#666666]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] liegen auf der Symmetrie-Achse [br](z.B. der [math]y[/math]-Achse), diese wäre „[b][i][color=#0000ff]Leitgerade[/color][/i][/b]“, sie nützt aber nicht zur Konstruktion![br]Die [b][i][color=#666666]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] berühren die [b][i][color=#ff7700]Parabeln[/color][/i][/b] von Innen, die Mittelpunkte liegen auf der Symmetrie-Achse.[br][br]Wie ist die Zuordnung der [b][i][color=#ff0000]konzentrischen Kreise[/color][/i][/b] zu den zur Symmetrie-Achse orthogonalen [b][i][color=#ff0000]Parallelen[/color][/i][/b], die sich[br]auf einer vorgegebenen [b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b] schneiden?[br]Den Schnittpunkt einer [b][i][color=#ff0000]Normalen[/color][/i][/b] zur Symmetrie-Achse mit dieser spiegele man am [b][i][color=#ff7700]Parabelscheitel[/color][/i][/b] bzw. an der [br][b][i][color=#b6b6b6]Scheiteltangenten[/color][/i][/b], man erhält einen Achsenschnittpunkt mit dem zugeordneten [b][i][color=#ff0000]konzentrischen Kreis[/color][/i][/b]: [br][b][i][color=#ff0000]Normale[/color][/i][/b] und [b][i][color=#ff0000]konzentrischer Kreis[/color][/i][/b] schneiden sich auf der [b][i][color=#ff7700]Parabel[/color][/i][/b]![br]Vorgegeben sind nur der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] und ein [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b], die Symmetrieachse ergibt sich daraus. [br]Durch Variation des [b][i][color=#ff7700]Scheitels[/color][/i][/b] auf der Symmetrie-Achse erhält man mit dieser Konstruktion alle [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Parabeln[/color][/i][/b][br]mit dieser Symmetrie-Achse.[br]Bei dieser Konstruktion wird dem [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] als [b][i][color=#ff0000]Punkt-Kreis[/color][/i][/b] die [b][i][color=#0000ff]Leitgerade[/color][/i][/b] und umgekehrt zugeordnet.[br][br]Diese Zuordnung ist, auf die speziellen Verhältnisse übersetzt, gültig für alle [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b]![/size]