[b][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/b][b][size=150][color=#999999][br][/color][/size][/b]

[b][size=150]円柱x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=4[sup]2[/sup](ｚが4以下)[/size][/b]を[b][size=150][color=#0000ff]平面z=xの下の部分（切頭円柱[decapitated cylinder]）[/color][/size][/b]の体積を求めたい。[br]斜柱のｙ座標はxの変域をx=[-4,4]とするとき、y=√(16-x[sup]2[/sup])となる。[br][br]・斜柱を[b]ｘ軸に垂直に切ったときの[color=#0000ff]断面[cross section, slice][/color][/b]はたてがｚ＝ｘ、よこが2√(16-x2)の[b]長方形[/b]だから、[br]面積S（ｘ）＝2ｘ√(16-x[sup]2[/sup])。これをｘ＝０から４まで積分すればよいね。[br]V=integral(S(x),0,4)=[math]\int^4_02x\sqrt{16-x^2}dx=-\int^4_0\left(-2x\right)\left(16-x^2\right)^{\frac{1}{2}}dx=-\left[\frac{2}{3}\left(16-x^2\right)^{\frac{3}{2}}\right]^4_0=\frac{2}{3}16^{\frac{3}{2}}=\frac{128}{3}=42.666...[/math][br]・斜柱を[b]ｙ軸に垂直に切ったときの[color=#0000ff]断面[/color][/b]はたてよこともに√(16-x2)の[b]直角二等辺三角形[/b]だから、[br]面積S(x)=1/2(16-x[sup]2[/sup])。これをｙ＝-4から４まで積分すればよいね。[br]V=integral(S(x),-4,4)=[math]\int^4_{-4}\frac{1}{2}\left(\sqrt{16-x^2}\right)2dx=\frac{1}{2}\int^4_{-4}\left(16-x^2\right)dx=\frac{1}{2}\left[16x-\frac{1}{3}x3\right]^4_{-4}=\frac{1}{2}\left(64\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot2\right)=\frac{128}{3}=42\frac{2}{3}[/math][br]

[color=#0000ff][b]回転体[rotating body,body of rotation; rotator; body of revolution][/b][/color]はｘ軸で回すと、[br]積分範囲はｘ=[a,b]になり[b][size=150]半径ｙの円盤の総和[/size][/b]になる。[br]だから、円盤の面積を[b][color=#0000ff][size=150]S(x)=πｙ2とすると、V=integral(S(x),a,b)[/size][/color][/b]になるね。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「ｙ＝√(a[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup])の半円をｘ軸で回転してできる[b]球の体積[/b]」は？[br]π・integral(ｙ[sup]2[/sup],-a,a)=π integral(a[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup],-a,a)=2π integral(a[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup],0,a)=2π(a[sup]2[/sup]a-1/3a[sup]3[/sup])-0=4/3πa[sup]3[br][/sup][color=#0000ff]（例）[br][/color]「(x/a)[sup]2[/sup]+(y/b)[sup]2[/sup]=1の楕円をｘ軸で回転してできる[b]回転楕円体[/b]の体積」は？[br]　b[sup]2[/sup](x/a)[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=b[sup]2[/sup]から、y[sup]2[/sup]=b[sup]2[/sup](1-(x/a)[sup]2[/sup]) x=[-a,a][br]π・integral(ｙ[sup]2[/sup],-a,a)=π integral(b[sup]2[/sup]-(b/a)[sup]2[/sup]x[sup]2[/sup],-a,a)=2π b[sup]2[/sup]/a[sup]2[/sup]integral(a[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup],0,a)=4/3πb[sup]2[/sup]a[sup][br][/sup][color=#0000ff]（例）[br][/color]「[b]サイクロイド[/b](x,y)=(a(t-sint),a(1-cost))（tは2π以下で非負）ｘ軸で回転してできる立体の体積」は？[br][color=#0000ff]ｘ軸に垂直に切った断面はS(x)[/color]=πy[sup]2[/sup]dx=πy[sup]2[/sup]dx/dt dt=πy[sup]2[/sup](x') dt=πa[sup]2[/sup](1-cost)[sup]2[/sup]a(1-cost)dt[br] =πa[sup]3[/sup](1-cost)[sup]3[/sup]dt=πa[sup]3[/sup]Pdt [br]・２倍角、３倍角を使うと[br]cos3t=4cos[sup]3[/sup]t-3cost, cos2t=2cos[sup]2[/sup]t-1から、cos[sup]3[/sup]t=(cos3t+3cost)/4,cos[sup]2[/sup]t=(1+cos2t)/2[br]P=1-3cost+3cos[sup]2[/sup]t-cos[sup]3[/sup]t=1-3cost+3/2+3/2cos2t-1/4cos3t-3/4cost[br]=5/2-15/4cost +3/2cos2t- 1/4cos3t=1/4(10-15cost+6cos2t-cos3t)[br]結局、S(x)=πa[sup]3[/sup]/4(10-15cost+6cos2t-cos3t)dtとなるね。[br]V=[math]\text{π\frac{a^3}{4}\int^{\text{２}\pi}_0(10-15cost+6cos2t-cos3t)dt}=\pi\frac{a^3}{4}\left[10t-15sint+3sin2t-\frac{1}{3}sin3t\right]^{^{\text{２}\pi}}_0=\pi\frac{a^3}{4}\left(20\pi-0\right)=5\pi^2 a^3[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｙ＝f(x)=xcosx(第１象限）とｘ軸に囲まれた領域の回転体の体積（回転軸はｘまたはｙ）」は？[br]・x軸との交点はx=0, π/2だから、ｘ軸で回転するときの積分区間はx=[0,π/2][br]ｘ軸に垂直に切った[color=#0000ff][b][size=150]断面はS(x)=πy[sup]2[/sup]dx[/size][/b][/color]=πx[sup]2[/sup]cos[sup]2[/sup]x dx=1/2・πx[sup]2[/sup](1+cos2x)dx=1/2π(x[sup]2[/sup]+x[sup]2[/sup]cos2x)dx[br]∫x[sup]2[/sup]=1/3x[sup]3[/sup], integral(x[sup]2[/sup],0,π/2)=1/3(π/2)[sup]3[/sup]=π[sup]3[/sup]/24。部分積分を２回やろう。[br]f,G=cos2x,x[sup]2[/sup]ならF,g=1/2sin2x, 2x からFg=xsin2x の積分が-1/2xcos2x＋∫cos2x=-1/2xcos2x+sin2x[br]∫x[sup]2[/sup]cos2x=x[sup]2[/sup]/2・sin2x-∫xsin2x dx＝x[sup]2[/sup]/2sin2x+1/2xcos2x-sin2xから、sin2xはx=0でもx=π/2でも０で、[br]integral(x[sup]2[/sup]cos2x,0,π/2)=[1/2xcos2x, 0,π/2]=1/2・π/2(-1)=-π/4。[br]以上からV[sub]1[/sub]=∫S(x)=1/2・π(π[sup]3[/sup]/24ーπ/4)=π[sup]4[/sup]/48-π[sup]2[/sup]/8[br]・y軸で回転するとき原点からの距離ｘで厚さdxに切った円柱側面(バウムクーヘンの年輪）は切り開くと2πxの幅で高さy、厚みがdxだから、[color=#0000ff][b][size=150]体積dV(x)=2πxydx。[/size][/b][/color]これを積分区間x=[0,π/2]で集めよう。[br]V[sub]2[/sub]=2π∫x(xcosx)dx=2π(∫x[sup]2[/sup]cosxdx)。これは上と同じように部分積分を２回やろう。[br]f,G=cosx,x[sup]2[/sup]ならF,g=sinx, 2x からFg=2xsinx の積分が2∫xsinxdx= 2(x(-cosx)-∫(-cosx))=2(-xcosx+sinx)[br]∫x[sup]2[/sup]cosxdx=x[sup]2[/sup]・sinx- 2∫ x sinxdx = x[sup]2[/sup]・sinx +2xcosx-2sinx=P(x)となる。[br]だから、V[sub]2[/sub]=2π[p(π/2)- p(0)]=2π[((π/2)[sup]2[/sup]-2) - 0 ]=π[sup]3[/sup]/2 - 4π