[b]Welke rechthoek met omtrek 200 cm heeft de grootste oppervlakte?[/b]

Noem [math]x[/math] de lengte en [math]y[/math] de breedte van een dergelijke rechthoek.[br]Dan moet voldaan zijn aan de nevenvoorwaarde [math]2x+2y=200[/math].[br][br]We nemen als rechterhandzijde van deze nevenvoorwaarde een variabele [math]c[/math] en beschouwen het maximalisatieprobleem[br] maximaliseer [math]F\left(x,y\right)=x\cdot y[/math] als [math]2x+2y=c[/math][br]met Lagrangefunctie[br] [math]L\left(x,y,\lambda\right)=xy+\lambda\cdot\left(200-2x-2y\right)[/math].[br][br]Met de notaties uit WBT 14.3 geldt[br] [math]x^{\ast}\left(c\right)=\frac{c}{4}[/math], [math]y^{\ast}\left(c\right)=\frac{c}{4}[/math], [math]\lambda^{\ast}\left(c\right)=\frac{c}{8}[/math][br]zodat[br] [math]F^{\ast}\left(c\right)=\frac{c^2}{16}[/math].[br][br]Voor [math]c=200[/math] is [math]F^{\ast}\left(200\right)=\frac{200^2}{16}=2500[/math] en [math]\lambda^{\ast}\left(200\right)=\frac{200}{8}=25[/math], met als benadering[br][br] [math]F^{\ast}\left(201\right)-F^{\ast}\left(200\right)\approx\lambda^{\ast}\left(200\right)=25.[/math][br]terwijl in werkelijkheid [br][br] [math]F^{\ast}\left(201\right)-F^{\ast}\left(200\right)=\frac{201^2}{16}-\frac{200^2}{16}=\frac{(201-200)\cdot(201+200)}{16}=\frac{401}{16}\approx25.0625.[/math][br][br][color=#ff0000]De Lagrangemultiplicator geeft dus benaderend aan hoeveel groter de oppervlakte wordt als de omtrek met 1 cm toeneemt.[/color]