Im folgenden Applet basteln wir Schritt für Schritt ein Dreieck und leiten dabei dessen Flächeninhalt her. Die einzelnen Schritte sind unten genau beschrieben.

[list=1][*][u]Schritt:[/u] Wähle drei Punkte A,B und C[/*][*][u]Schritt:[/u] Seite c liegt [b]gegenüber[/b] des Punktes C und verbindet A mit B[/*][*][u]Schritt:[/u] [math]h_c[/math] ist eine Strecke, die [b]durch den Punkt C[/b] geht und die die Seite [b]c im rechten Winkel[/b] schneidet[/*][*][u]Schritt:[/u] Seite [b]b liegt gegenüber von Punkt B[/b][/*][*][u]Schritt:[/u] Seite [b]a liegt gegenüber von Punkt A[/b][/*][*][u]Schritt:[/u] Die Fläche [math]c\cdot h_c[/math] ist eingezeichnet[/*][*][u]Schritt:[/u] Beachte, dass die Seiten a und b jeweils einen Teil der Fläche [math]c\cdot h_c[/math] in die [b]Hälfte[/b] teilen[/*][*][u]Schritt:[/u] Der [b]Flächeninhalt unseres Dreiecks[/b] ist [math]\frac{c\cdot h_c}{2}[/math][/*][/list]

Die Winkel [math]\alpha[/math] und [math]\beta[/math] zeichnen wir bei den Punkten A und B ein. Wie wir einfach mit der Formel [math]sin=\frac{GK}{H}[/math] errechnen können, ergeben sich [math]sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}{b}[/math] und [math]sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}{a}[/math]. Diese beiden Formeln können wir nun nach [math]h_c[/math] umformen und erhalten: [math]h_c=sin\left(\alpha\right)\cdot b=sin\left(\beta\right)\cdot a[/math].[br]Für den Flächeninhalt unseres Dreiecks gilt daher: [math]\frac{c\cdot h_c}{2}=\frac{c\cdot b\cdot sin\left(\alpha\right)}{2}=\frac{c\cdot a\cdot sin\left(\beta\right)}{2}[/math][br]Die obigen 8 Schritte hätten wir uns genauso mit b und [math]h_b[/math] (im Bild eingezeichnet) oder mit a und [math]h_a[/math] überlegen können. Für den Flächeninhalt A des Dreiecks gilt [math]A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}[/math][br][math]h_b[/math] können wir auch (siehe Abbildung) mit [math]a\cdot sin\left(\gamma\right)[/math] ausdrücken. Wir erhalten für den Flächeninhalt:[br][math]A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot a\cdot sin\left(\gamma\right)}{2}=\frac{c\cdot b\cdot sin\left(\alpha\right)}{2}=\frac{c\cdot a\cdot sin\left(\beta\right)}{2}[/math][br]Durch Division durch [math]\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot c[/math] erhalten wir:[br][math]\frac{sin\left(\gamma\right)}{c}=\frac{sin\left(\alpha\right)}{a}=\frac{sin\left(\beta\right)}{b}[/math][br]Das ist der [b][color=#ff7700]Sinusssatz[/color][/b]