Construindo a elipse do mesmo modo que Apolônio, através da intersecção de um plano com um cone duplo, teremos o seguinte lugar geométrico.[br][br]

Vimos que os planetas do Sistema Solar orbitam o Sol em trajetórias elípticas. As órbitas dos planetas na imagem a seguir estão em escalas e o ponto alaranjado no centro representa o Sol e o mesmo foi ampliado em 4 vezes o seu tamanho. Os números indicam a distância do planeta até o Sol. Esta unidade de medida chama-se Unidade Astronômica (UA), equivalente a 150 milhões de quilômetros.

[justify]Em termos matemáticos, a elipse é um lugar geométrico definida pelos pontos [math]\text{P(x,y)}[/math] no plano cartesiano cuja a distância a dois pontos fixos é constante, isto é, [math]d\left(P,F_{_{_1}}\right)+d\left(P,F_{_{_2}}\right)=2a[/math][br][br]Caso não saiba o que é lugar geométrico, clique no link (https://impa.br/wp-content/uploads/2020/01/PAPMEM_JAN_2020_LG1-Papmem.pdf).[br][br]Vamos nomear esses dois pontos fixos de [math]F_{_{_1}}[/math] e [math]F_{_{_2}}[/math]. Note que eles podem ser pontos quaisquer do plano. Estes pontos são chamados de focos.[br][br]Nesta primeira interação com o Geogebra, siga alguns passos e observe o que está acontecendo.[br]1) Mova o ponto "P(x,y)" e observe os valores no canto superior esquerdo.[br]2) Altere a posição dos pontos "F1" e "F2" para gerar outra elipse e, em seguida realize novamente o passo 1.[br][/justify]

Note que o valor da distância [math]d\left(P,F_1\right)+d\left(P,F_2\right)[/math] é constante até o momento em que alteram-se os focos gerando um novo valor. Porém, quando varia o ponto P novamente, esta distância torna-se constante novamente.

Acabamos de conhecer a definição de elipse e fizemos também uma breve investigação matemática para verificar o que acontece quando alteramos os focos e o ponto P.[br][br]Mas qual é a equação que gera todos os pontos da elipse?[br]Primeiramente vamos estudar a equação da elipse que esteja centrada na origem, ou seja, o centro da elipse coincidirá com o centro do plano cartesiano.[br][br]Para responder essa pergunta temos dois caminhos: diretamente a "fórmula", chamada de equação reduzida ou deduzi-la através da definição via lugar geométrico. Caso queria conhecer a demonstração matemática clique no arquivo a baixo.

Os valores de [math]a,b,x[/math] e [math]y[/math] são reais, com [math]a[/math] e [math]b[/math] diferentes de zero, fixos inicialmente. Portanto é comum aparecer radicais, pois os valores são elevados ao quadrado eliminando a raiz.

Agora que conhecemos qual é a equação reduzida da elipse, construa na janela de interação a seguir respeitando os passos a seguir.[br][br]1) Ao lado esquerdo digite a equação reduzida.[br]2) Utilize os controles deslizantes para verificar o que acontece com a elipse. (O GeoGebra adicionará automaticamente os controles deslizantes)

Perceba que por mais que alteremos os valores de a e b, a elipse ainda esta centrada na origem, ou seja, no ponto (0,0). O que precisa ter na equação reduzida para que haja uma translação ou um deslocamento deste meu lugar geométrico?[br][br]Se lembrarmos da circunferência, por exemplo, [math]x^2+y^2=1[/math] onde o centro da circunferência é a origem e raio igual a um. Para esta mesma circunferência esteja com o centro no ponto (2,1) teremos que realizar uma translação, ou seja, a equação será [math]\text{(x-2)^2+(y-1)^2=1}[/math].[br][br]Realizando um processo análogo na equação da elipse, obteremos com [math]a[/math] e [math]b[/math] diferente de zero:

Caso queira entender como encontrar esta equação clique no arquivo a seguir.

Esta equação permite que você desloque a elipse para qualquer lugar do seu plano cartesiano, então construa na janela a seguir seguindo os seguintes passos.[br][br]1) Ao lado esquerdo digite a equação reduzida que acabamos de encontrar com [math]a=3,b=2,x_0=k[/math] e [math]y_0=h[/math].[br]2) Utilize os controles deslizantes para verificar o que acontece com a elipse.

Tome nota em seu caderno para que não perca algumas informações importantes.[br][br]1° o que acontece quando altero os valores de a e b?[br][br]2° o que acontece quando altero os valores de [math]x_0[/math] e [math]y_0[/math]?