Cálculo de várias variáveis com Geogebra 3D. Vol II
O material disponibilizado neste trabalho visa introduzir o aluno ao cálculo integral de funções de várias variáveis reais. Também pretendemos dotar professores da Matemática de ferramentas tecnológicas que tornem suas aulas mais interativas e atraentes para o discente. Assim como formar futuros professores de Matemática nesta práctica. Serão aprensentados diversos recursos computacionais e atividades realizados com o GeoGebra 3D. O docente pode incluir partes do livro ou applets específicas em suas aulas ou ambientes de aprendizagem assim como indicar o livro na íntegra como complemento ao processo de ensino-aprendizagem do discente. O conteúdo do livro será apresentado da seguinte maneira: Primeiramente, incluiremos recursos básicos de transformações para dar um reforço em mudanças de variável. A seguir serão trabalhados conceitos chave sobre integrais duplas e triplas de funções escalares. O projeto conta com a colaboração de docentes do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal Fluminense (Brasil) e de alunos de graduação dos cursos de Bacharelado em Matemática e da Licenciatura em Matemática. Professores colaboradores: [*] [i]Begoña Alarcón* (Departamento de Matemática Aplicada)[/i]; [*] [i]Carlos Meniño (Departamento de Análise)[/i]; [*] [i]Cristhabel Vasquez (Departamento de Geometria)[/i]. Discentes colaboradores: [*] [i]Joao Pedro Teixeira De Sá* (Licenciatura em Matemática)[/i] [*] [i]Raphael Brandão (Licenciatura em Matemática)[/i] [*] [i]Júlia Canario dos Anjos (Licenciatura em Física)[/i]
Table of Contents
- Transformações no plano
- Transformações no plano
- Questionário: Transformações
- Transformações no espaço
- Transformações no espaço
- Campos vetoriais
- Campos vetoriais
- Campo Gradiente
- Divergente de Campo
- Rotacional de Campo
- Integral dupla
- Integral Dupla e o Teorema de Fubini
- Integral sobre Região de Tipo I
- Integral sobre Região de Tipo II
- Centro de Massa
- Integral tripla
- Integral tripla sobre uma região do espaço
- Sólido em coordenadas esféricas
- Integral de linha
- Integral de linha
- Integral de linha de um campo
- Winding Number
- Integral de superfície
- Integral Campo Superfície
Transformações no plano
Definição: Uma transformação afim M(x,y) = A(x,y) + [math]\left(\alpha,\beta\right)[/math] é uma composição de uma transformação linear L(x,y) = A.(x,y) e uma translação T(x,y) = (x,y) + [math]\left(\alpha,\beta\right)[/math] . Onde a matriz A é uma matriz 2x2 regular [br][br] A= [math]\text{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}}[/math][br][br]as equações da transformação afim M são [math]u=ax+by+\alpha,\quad v=cx+dy+\beta,[/math] com [math]ad-cb\ne0[/math]. [br][br]O jacobiano da transformação afim M é [br][br] JM= [math]\text{\begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y }\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \end{vmatrix }[/math] = [math]det(A)[/math] = [math]ad-cb[/math][br][br]As transformações lineares canônicas são: [br][br][br]---> Explicar o que é uma transformação linear geral<----------[br]
Apresentamos abaixo uma lista de applets com cada tipo de transformação, aberta para o aluno manipular e observar cada tipo de transformação..
Expansão e contração : Autovalores reais distintos
Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=ax[/math] e[math]v=by[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-a\le u\le a,\quad-3b\le v\le3b\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]ab[/math].
Reflexão: Autovalores 1 e -1
Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=-x[/math] e[math]v=y[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid0\le x\le3,\quad0\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{uv}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-3\le u\le0,\quad-3\le v\le0\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]-1[/math]
Homotetia: Autovalor duplo com dois vetores linearmente independentes
Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=ax[/math] e[math]v=ay[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-a\le x\le a,\quad-3a\le v\le3a\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]a^2[/math]
Autovalor duplo com um "único autovetor"
Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=ax+y[/math] e[math]v=ay[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-ax-y\le u\le ax+y,\quad-3a\le v\le3a\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]a^2[/math]
Autovalores complexos
Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=xcos\left(\theta\right)-ysen\left(\theta\right)[/math] e [math]v=xsen\left(\theta\right)+ycos\left(\theta\right)[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-\left|xcos\left(\theta\right)-ysen\left(\theta\right)\right|\le u\le\left|xcos\left(\theta\right)-ysen\left(\theta\right)\right|,\quad-\left|xsen\left(\theta\right)+ycos\left(\theta\right)\right|\le v\le\left|xsen\left(\theta\right)+ycos\left(\theta\right)\right|\right\}[/math][br][br]Seu jacobiano vale [math]1[/math]
Equações da transformação: [br] Temos que [math]u=x+2[/math] e [math]v=y+1[/math][br][math]R_{xy}=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid-1\le x\le1,\quad-3\le y\le3\right\}[/math][br][math]R_{u,v}=\left\{\left(u,v\right)\in\mathbb{R}^2\mid-\left(x+2\right)\le u\le x+2,\quad-\left(y+1\right)\le v\le y+1\right\}[/math]
Transformação linear geral
Transformações no espaço
Definição: Uma transformação afim M(x,y,z) = A(x,y,z) + [math]\left(\alpha,\beta,\gamma\right)[/math] é uma composição de uma transformação linear L(x,y,z) = A.(x,y,z) e uma translação T(x,y,z) = (x,y,z) + [math]\left(\alpha,\beta,\gamma\right)[/math] . Onde a matriz A é uma matriz 3x3 regular [br][br] A= [math]\text{\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}}[/math].[br][br]As equações da transformação afim M são da forma [math]u=ax+by+cz+\alpha,\quad v=dx+ey+fz+\beta,\quad p=gx+hy+iz+\gamma[/math] com [math]det\left(A\right)=a\left(ci-hf\right)-b\left(di-fg\right)+c\left(dh-cg\right)\ne0[/math]. [br][br]O jacobiano da transformação afim M é [br][br] JM= [math]\text{\begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial p}{\partial x} & \frac{\partial p}{\partial y} & \frac{\partial p}{\partial z} \end{bmatrix}}[/math] = [math]det(A)[/math] = [math]a\left(ci-hf\right)-a\left(ci-hf\right)-b\left(di-fg\right)+c\left(dh-cg\right)[/math][br][br]As transformações lineares canônicas são: [br][br]
Campos vetoriais
Nos seguintes applets podemos visualizar os campos de vetores no plano e no espaço. [br][br][br]Podemos visualizar o campo [math]\vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)),[/math] definido sobre o domínio[math][a,b]\times[c,d][/math], inserindo suas componentes. Adicionalmente temos o fator de escala que multiplica o campo de vetores por uma constante entre 0 e 1, o que pode facilitar a compreensão do campo; e temos o fator de densidade que permite colocar um número maior de setas, quanto menor é h maior é a densidade.
Podemos visualizar o campo [math]\vec{F}\left(x,y,z\right)=\left(P\left(x,y,z\right),Q\left(x,y,z\right),R\left(x,y,z\right)\right)[/math], definido sobre o domínio [math][a,b]\times[c,d]\times[k,l][/math], inserindo suas componentes. Adicionalmente temos o fator de escala que multiplica o campo de vetores por uma constante entre 0 e 1, o que pode facilitar a compreensão do campo; e temos o fator de densidade que permite colocar um número maior de setas, quanto menor é h maior é a densidade.
Integral Dupla e o Teorema de Fubini
No seguinte applet mostramos, de forma geométrica, a igualdade entre a integração iterada e a integral dupla de uma função[math]f(x,y)[/math] definida no retângulo [math]\left[a,b\right]\times\left[c,d\right][/math] (Teorema de Fubini). O parâmetro [math]h[/math]define uma partição do domínio. Quanto mais pequeno seja [math]h[/math] mais fina será a partição. O valor da integral é estimada a partir de uma soma de Riemann definida sobre um pontilhamento da partição dada, quanto menor seja [math]h[/math] maior será a aproximação do valor estimado com o valor da integral.
Integral tripla sobre uma região do espaço
Visualização da região [math]W=\left\{\left(x,y,z\right)\mid a\le x\le b,\quad g_1\left(x\right)\le y\le g_2\left(x\right),\quad h_1\left(x,y\right)\le z\le h_2\left(x,y\right)\right\}[/math], essa região pode ser entendida como uma região do tipo I no espaço sobre uma região de tipo I no plano. Temos uma estimativa numérica da função [math]f[/math] definida sobre [math]W[/math].
Integral de linha
Cálculo da integral de linha de uma função [math]f(x,y)[/math] na curva [math](x(t),y(t))[/math] definida sobre o intervalo [math][a,b][/math].
Integral Campo Superfície
Visualização da integral do campo [math]\vec{F}=(P,Q,R)[/math] sobre a superfície parametrizada [math]s(u,v)=(s_1,s_2,s_3)[/math] no domínio [math][a,b]\times[c,d][/math]. Temos o campo normal ( em vermelho) associado a parametrização da superfície e o campo F restrito a superfície ( em verde). Inclui-se uma estimativa numérica dessa integral.
No applet abaixo é possível visualizar da integral da função $f: R^3 \rightarrow R$ sobre a superfície parametrizada $s(u,v) = (s_1,s_2,s_3)$ no domínio $[a,b] \times [c,d]$. Na primeira janela é possível manipular o ponto $(u,v)$ sobre o domínio e na janela a direita podemos ver o ponto $s(u,v)$, assim como os vetores $\partial s/ \partial u$ ,$\partial s / \partial v$ e $ \partial s / \partial u \otimes \partial s /\partial v $. Inclui-se uma estimativa numérica dessa integral.