[b]Definition:[br][/b]Der Grenzwert eines Differenzenquotienten auf dem Intervall [math]\left[x_0,x\right][/math] bzw. [math]\left[x,x_0\right][/math][br][math]f'\left(x_0\right):=\lim_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math][br]heißt, wenn er für [math]x>x_0[/math] [u]und[/u] [math]x existiert und gleich ist, [b]Differentialquotient [/b]oder auch [b]Ableitung [/b]von [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0[/math].[br][b]Merke:[/b][br]Der Differentialquotient bzw. die Ableitung [math]f'\left(x_0\right)[/math] beschreibt die lokale Änderungsrate von [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0[/math] und die Steigung der Tangente des Punktes [math]\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math] am Graphen von [math]f[/math] und somit die Steigung des Graphen selbst am Punkt [math]\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math].[br][br][b]Aufgabe 5.2.1:[/b][br]a) Schreibe die Definition des Differentialquotienten in dein Heft.[br]b) Erstelle eine Skizze mit[br][list][*]dem Graphen von [math]f\left(x\right)=x^3[/math],[/*][*]dem Punkt [math]P_0\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math] für [math]x_0=1[/math],[/*][*]der Tangente von [math]f[/math] an [math]P_0[/math],[/*][*]dem Punkt [math]P_1\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)[/math] für [math]x_1=2[/math],[/*][*]die Sekante durch [math]P_0[/math] und [math]P_1[/math],[/*][*][math]\Delta x[/math] und [math]\Delta y[/math].[/*][/list]Berechne den Differenzenquotienten von [math]f[/math] auf [math]\left[x_0,x_1\right][/math] und ermittle annähernd den Differentialquotienten von [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0" width="1" height="1">.

[b]Aufgabe 5.2.2:[/b][br]Beschreibe in deinem Heft, wie die folgenden Begriffe, Ausdrücke und Beispiele zusammenhängen:[br]Differenzenquotient, Differentialquotient, Ableitung, momentane Änderungsrate, lokale Änderungsrate, Momentangeschwindigkeit, Durchschnittsgeschwindigkeit, Sekantensteigung, Tangentensteigung, Steigung am Graphen, [math]\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math], [math]\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}[/math], [math]\lim_{x\to x_0}\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}[/math]