Identifica en el applet que:[br][br][list][*]Para [b]determinar [/b]el valor de [math]f'\left(x\right)[/math] sustituye [math]x_0[/math] en [math]x[/math], es decir: [/*][/list][math]f'\left(x\right)=f'\left(x_0\right)[/math][br][list][*]Dado que [math]\Delta y[/math] representa el cambio, entonces [math]\Delta y[/math] es equivalente a la [i]diferencia entre [math]f\left(x_0+\Delta x\right)[/math]-[math]f\left(x_0\right)[/math][br][br][/i][/*][*][i][b]Cuando [/b][math]\Delta x[/math][b] tiende a [u]cero, [/u] la [u]pendiente [/u]de la recta tangente se aproxima al cambio de la [u]función [/u]f(x)[/b][/i][/*][/list]
La aproximación de una función por su diferencial en los entornos más pequeños de un[br]punto es de gran utilidad en ingeniería, pues permite [b]estimar [/b]con facilidad y rapidez las[br]variaciones de la función en esos entornos. Además el procedimiento es el mismo para[br]todas las funciones derivables.[br][br]Por ejemplo, la derivada de la función [math]y=x^2[/math] es [math]y'=2x[/math]. Por tanto, la derivada en [math]x_0=0.5[/math] es [math]y'\left(0.5\right)=1[/math][br]Significa que, en entornos pequeños de 0.5, [math]y[/math] se incrementa aproximadamente [math]1[/math] por cada unidad que se incremente x. Eso es lo que significa también que la diferencial es dy = 1dx.[br][br]En [math]x_0=3[/math] la derivada de [math]y=x^2[/math] vale 6. Significa que, en entornos pequeños de [math]x_0=3[/math], [math]y[/math] se incrementa aproximadamente 6 unidades por cada unidad que se incremente [math]x[/math]. O, también, que en [math]x_0=3[/math] es [math]dy=6dx[/math] dy = 6dx . Esto es que, la función varía 6 veces más rápidamente en [math]x_0=3[/math] que en [math]x_0=0.5[/math] .[br][br][b][u]Observación[/u][/b]: Algunos autores escriben la diferencial en términos de la variable independiente cuando [b]NO[/b] se está analizando en un punto específico, por ejemplo:[br] [math]dy=2dx[/math] sería equivalente a [math]dy=2xdx[/math][br]O bien, la diferencial de [math]y=\left(x-2\right)^3[/math] sería [math]dy=3\left(x-2\right)^2dx[/math]