[br]Wyznaczymy równania stycznych do wykresu funkcji [math]f(x)=\sqrt{x-1}[/math] w punktach: [math]A=(2,1)[/math], [math]B=(5,2)[/math] oraz [math]C=(1,0)[/math]. [br][br]Przypomnijmy, że jeśli funkcja [math]f[/math] jest różniczkowalna w [math]x_0[/math], to [b]styczna do wykresu[/b] [math]f[/math] [b]w punkcie[/b] [math](x_0,f(x_0))[/math] (lub krótko w punkcie [math]x_0[/math]) opisana jest wzorem:[center][math]y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)[/math]. [math](*)[/math][/center]Jeśli [math]f[/math] ma w [math]x_0[/math] pochodną niewłaściwą, to styczną jest prosta o równaniu [math]x=x_0[/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]:[br]Zauważmy najpierw, iż funkcja [math]f[/math] jest określona dla [math]x\ge1[/math], natomiast różniczkowalna jest tylko dla [math]x>1[/math] i jej pochodna jest równa [math]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}[/math]. A zatem wzór [math](*)[/math] możemy wykorzystać do wyznaczenia stycznych w puntach [math]A[/math] i [math]B[/math].

Aby rozstrzygnąć, czy istnieje styczna w punkcie [math]C=(1,0)[/math] należy zbadać korzystając z definicji, czy istnieje pochodna (prawostronna) funkcji [math]f[/math] w [math]1[/math]. Ponieważ [math]\lim_{x\to1^+}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=+\infty[/math] oraz funkcja [math]f[/math] jest ciągła w [math]1[/math], więc [math]f[/math] ma w [math]1[/math] pochodną niewłaściwą. A zatem styczna w punkcie [math]C[/math] opisana jest równaniem [math]x=1[/math].

W powyższym aplecie zdefiniuj punkt [math]D=(6,\sqrt{5})[/math] i napisz równanie stycznej do wykresu [math]f[/math] w punkcie [math]D[/math].

[color=#666666][table][tr][td][b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][br][br][/b][/td][td][color=#666666][i][/i][/color][color=#666666][i][color=#666666][size=100][u]Uwaga[/u]. Do sprawdzenia poprawności uzyskanego rozwiązania można wykorzystać [/size][/color][/i][/color][color=#666666][i][color=#666666][size=100][color=#666666][color=#666666][i][color=#666666][size=100] narzędzie [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tangent.png[/icon][/size][/color][/i][/color][/color]oraz polecenie [b]Styczna[/b]((x_0,f(x_0)),f) lub [b]Styczna[/b](x_0,f) pozwalające bezpośrednio wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji [math]f[/math] w punkcie [math](x_0,f(x_0))[/math].[/size][/color][/i][/color][/td][/tr][/table][/color]