Точки Е, F, P и M - середины A1D1, D1C, CD и A1D соответственно. Докажите, что ЕР и МF пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

В данном задании рассматриваем треугольники ADD1 и DD1C. Так как точки Е, F, P и M - середины A1D1, D1C, CD и A1D соответственно, то отрезок EM - это средняя линия треугольника ADD1, а отрезок FP - это средняя линия треугольника DD1C. Отрезки ЕМ и FP параллельны, потому что лежат в одной плоскости EMF и не пересекаются. Если соединить точки E, M, F, P, то получим параллелограмм, потому что отрезки параллельны и равны, а отрезки EP и FM являются диагоналями параллелограмма. У диагоналей параллелограмма есть свойство, что диагонали пересекаются в общей точке, которая делит их пополам. Общей точкой является точка G.