[b]Satz[/b][br]Sei [math]f:\left[a;b\right]\longrightarrow\mathbb{R}[/math] stetig und sei [math]y\in\mathbb{R}[/math] ein Wert zwischen f(a) und f(b) (d. h. f(a) ≤ y ≤ f(b)).[br]Dann gibt es ein [math]x\in\left[a;b\right][/math] mit f(x) = y.[br][br]Beweis[br]Der Beweis wird mithilfe einer Intervallschachtelung von zwei Folgen (a[sub]n[/sub]) und (b[sub]n[/sub]) geführt (siehe Skriptum).[br]Für die Folgen (a[sub]n[/sub]) und (b[sub]n[/sub]) gilt:[br][math]a=a_1\le a_2\le...\le a_n\le...\le b_n\le...\le b_2\le b_1=b[/math][br]und [br][math]\left|a_n-b_n\right|\longrightarrow0[/math][br]

[b]Aufgabe[/b][br]In dem Applet können der [b]Funktionsterm[/b], die Grenzen des Intervalls [b]a[/b] und[b] b[/b] und der Wert für [b]y[/b] verändert werden.[br][br]Zeige, dass die [math]\sqrt{2}[/math] existiet und berechne den Wert näherungsweise.