Oft wird die Exponentialfunktion für die mathematische Beschreibung eines Wachstumsprozesses oder eines Zerfallsprozesses eingesetzt. Ein exponentielles Wachstum beziehungsweise ein exponentieller Zerfall zeichnet sich dadurch aus, das im nächsten Zeitschritt der Bestand prozentual zum bestehenden Bestand wächst beziehungsweise sinkt.[br]Beschreibt eine Exponentialfunktion ein solches Wachstum (bzw. Zerfall), dann wählt man als Variable oft eine Zeiteinheit [math]t[/math]. Ausserdem wird auf der Ordinate der Bestand [math]N[/math] angegeben.[br][br]Wir haben bereits gesehen, dass sich jede beliebige Exponentialfunktion mit der Basis [math]e[/math] schreiben lässt. Tatsächlich ist es so, dass sich jede beliebige Exponentialfunktion mit einer beliebigen Basis ([math]a>1[/math]) schreiben lässt. Durchgesetzt haben sich vier Werte, die hier etwas genauer untersucht werden sollen.
Die rote Funktionsgleichung beschreibt den gezeichneten Funktionsgraphen. [br]Was bedeuten die folgenden Variablen und Parameter im Kontext eines exponentiellen Wachstums beziehungsweise eines exponentiellen Zerfalls?[br][math]N\left(t\right)[/math], [math]N_0[/math], [math]a[/math], [math]t[/math]
[math]N\left(t\right)[/math]: Bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt [math]t[/math], also nach [math]t[/math] Zeiteinheiten.[br][math]N_0[/math]: Bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt [math]t=0[/math], also den Anfangsbestand oder den Startwert.[br][math]a[/math]: Dies ist der Wachstumsfaktor. Je grösser er ist, desto rascher wächst der Bestand. Wird der Wachstumsfaktor kleiner als Eins, so nimmt der Bestand mit der Zeit ab.[br][math]t[/math]: Sind die Anzahl vergangener Zeiteinheiten.
Eine wichtige Frage bei Exponentiellem Wachstum ist die nach der Verdoppelungszeit [math]T_2[/math]. [math]T_2[/math] sagt aus wie lange es dauert, bis sich ein Bestand verdoppelt hat.[br]Bestimmen Sie die Verdoppelungszeit bein einem Wachstumsfaktor von indem Sie den Punkt N auf dem Graph verschieben.
Betätigen Sie die Checkbox "Verdoppelung anzeigen". Was wird dadurch sichtbar?
Es werden die Zeitpunkte und die Bestände nach einer, zwei, drei und vier Verdoppelungszeiten angezeigt.
Hängt die Verdoppelungszeit vom Startwert [math]N_0[/math] ab?
Verändern Sie den grünen Schieberegler [math]\Delta t[/math]. Es wird ein neuer Punkt im zeitlichen Abstand [math]\Delta t[/math] vom Punkt N gezeichnet. Ausserdem wird unten das Verhältnis der Bestände der beiden Punkte angegeben.[br]Verschieben Sie den Punkt N auf der Funktion und beobachten Sie wie sich das Verhältnis verändert. [br]Was stellen Sie fest? Finden Sie Spezialfälle?
Das Verhältnis der beiden Bestände bleibt (für ein bestimmtes [math]\Delta t[/math]) konstant. Für [math]\Delta t=1[/math] beträgt das Verhältnis genau [math]a[/math], für [math]\Delta t=2[/math] beträgt das Verhältnis genau [math]a^2[/math].
Setzen Sie die Kontruktion wieder zurück in die Ausgangsstellung (Checkbox leer, [math]\Delta t=0[/math]).[br]Verändern Sie die Basis (blauer Schieberegler) um einen Schritt.[br]Wie verändert sich der Funktionsgraph dabei?[br]Betrachten Sie nun die angezeigte Funktionsgleichung und bestimmen Sie die Bedeutung der angegebenen Variablen. [br]
Der Funktionsgraph bleibt (bis auf Rundungsfehler) identisch.[br][math]N\left(t\right)[/math]: Bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt [math]t[/math], also nach [math]t[/math] Zeiteinheiten.[br][math]N_0[/math]: Bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt [math]t=0[/math], also den Anfangsbestand oder den Startwert.[br][math]p[/math]: Dies ist die Wachstumgsrate. Oft gibt man die Wachstumsrate in Prozent an. Dieser Wert gibt an um wie viel Prozent (oder um welchen Faktor) der Bestand im nächsten Zeitschritt wächst.[br][math]t[/math]: Sind die Anzahl vergangener Zeiteinheiten.
Hat sich die Verdoppelungszeit verändert? Stimmt es immer noch, dass das Verhältnis der Bestände zweier benachbarter Werte konstant bleibt?
Nein, die Verdoppelungszeit hat sich nicht verändert.[br]Ja, dieses Verhältnis ist auch immer noch konstant. [br]Die Funktion hat sich ja nur formal verändert.
Schieben Sie nun den blauen Schieberegler um einen weiteren Schritt weiter. [br]Die Funktionsgleichung verändert sich nun drastisch. Die Basis ändert sich auf den Wert 2. Dafür wird ein neuer Parameter im Exponenten eingeführt.[br]Was bedeutet dieser neue Parameter?
[math]T_2[/math] ist die so genannte Verdoppelungszeit. Nach der Zeit [math]t=T_2[/math] hat sich der Bestand verdoppelt.
Wie rechnet man von der Verdoppelungszeit auf den Wachstumsfaktor [math]a[/math] oder auf die Wachstumsrate [math]p[/math] um?
[math]$a=2^{\frac{1}{T_2}}=\sqrt[T_2]{2}$[/math][br][math]$p=2^{\frac{1}{T_2}}-1=\sqrt[T_2]{2}-1$[/math]
Schieben Sie nun den blauen Schieberegler um einen weiteren Schritt weiter.[br]Wieder ändert sich die Basis drastisch. Beschreiben Sie nun die neue Varialbe sowie die Basis.
[math]e[/math]: Ist die eulersche Zahl, die natürliche Basis[br][math]\lambda[/math]: Ist der so genannte Wachstumsfaktor. Er hat eine Einheit wie eine Frequenz (pro Zeiteinheit). Der Wachstumsfaktor wird vor allem dazu benötigt, die Funktion mit der Basis [math]e[/math] schreiben zu können.
Setzen Sie nun alle Parameter wieder auf die Starteinstellungen zurück (Refresh - oben rechts).[br]Verändern Sie nun die Werte [math]N_0[/math] und [math]a[/math] so, dass ein Zerfall dargestellt wird.[br]Anstelle der Verdoppelungszeit können Sie sich nun die Halbwertszeit anzeigen lassen. Bestimmen Sie diese erst durch das Verschieben des blauen Punktes N und lassen Sie sich diese erst später anzeigen.[br]Was bedeutet "Halbwertszeit"?[br][br]
Die Halbwertszeit [math]T_{\frac{1}{2}}[/math] gibt die Zeit an, die vergeht bis der Bestand auf die Hälfte gesunken ist.
Was ist der Unterschied im Wachstumsfaktor und der Wachstumsrate für einen Zerfalls- im Vergleich mit einem Wachstumsprozess.
Im Zerfallsprozess ist der Wachstumsfaktor [math]a[/math] kleiner als 1, im Wachstumsprozess ist [math]a>1[/math].[br]Im Zerfallsprozess ist die Wachstumsrate [math]p[/math] negativ, im Wachstumsprozess ist [math]p>0[/math].
Was passiert mit der Basis 2 und der Verdoppelungszeit? Die Basis scheint sich grundlegend zu verändern. Erklären Sie.
Die allgemeine Funktionsgleichung mit Basis 2 lautet [math]N\left(t\right)=N_0\cdot2^{\frac{t}{Tx}}[/math] dabei ist [math]T_x[/math] entweder die Verdoppelungszeit [math]T_2[/math] oder die negative Halbwertszeit [math]-T_{\frac{1}{2}}[/math]. Der Exponent muss negativ sein, da der Bestand abnimmt. Die Halbwertszeit ist jedoch immer ein positiver Wert, deshalb muss man sich das Minus dazu denken - oder man rechnet es in die Basis ein:[br][math]$N\left(t\right)=N_0\cdot 2^{\frac{t}{-T_{\frac{1}{2}}}}=N_0\cdot \left(2^{-1}\right)^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}=N_0\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$[/math]
Was geschieht mit dem Wachstumsfaktor [math]\lambda?[/math]
Der Wachstumsfaktor [math]\lambda[/math] wird negativ und wird neu Zerfallskonstante genannt. [br][br]Zusatzinformation:[br]Das Inverse der Zerfallskonstante heisst Lebensdauer [math]\tau[/math]. Es gilt: [math]\tau=\frac{1}{\lambda}[/math]
Frau Listig behauptet, dass man die Verdoppelungszeit ganz einfach abschätzen kann, wenn man weiss um wie viel Prozent sich ein Bestand pro Jahr vermehrt. Sie behauptet man müsse einfach 70 durch diese Prozentzahl teilen und man erhalte (ungefähr) die Verdoppelungszeit.[br]Verifzieren Sie diese Aussage mit Hilfe der Schieberegler. Ab wann stimmt diese Abschätzung nicht mehr so gut?[br][size=85]Hinweis: Beachten Sie, dass Sie die Wachstumsrate in Prozent umrechnen müssen.[/size]
Diese Rechnung stimmt ziemlich gut. [br]Bei einem Wert von [math]p=0.1=10\%[/math] hat man erst Abweichungen von 0.25 Jahren, also etwa 3 Monate.[br]Aber auch für grössere Werte liefert diese Abschätzung brauchbare Resultate.
Wir haben festgestellt, dass sich jede Exponentialfunktion (ob Zerfall oder Wachstum) mit beliebigen Basen schreiben lässt. Die Wichtigsten Basen sind: (1+p), 2 und e.[br]Je nach Basis gibt es unterschiedliche Parameter, die auf unterschiedliche Eigenschaften der Funktion hinweisen. Wenn man einen dieser Parameter kennt, so lassen sich die anderen damit berechnen, die Berechnungen verlangen jedoch ein Verständnis des Logarithmus. [br]Wichtig sind die korrekten Bezeichnungen der Parameter:[br][list][*]Wachstumsfaktor [math]a[/math][/*][*]Wachstumsrate [math]p[/math][/*][*]Verdoppelungszeit [math]T_2[/math][/*][*]Halbwertszeit [math]T_{\frac{1}{2}}[/math][/*][*]Wachstumsfaktor [math]\lambda[/math](falls [math]\lambda>0[/math])[br][/*][*]Zerfallskonstante [math]\lambda[/math] (falls [math]\lambda<0[/math])[br][/*][/list]