[size=85][size=85][size=85][size=85][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]April 2022)[/b][/i][/color][/right][/size][/size][/size][/size][/size]

[size=85]Eine [color=#0000ff][i][b]notwendige[/b][/i][/color] Voraussetzung für das Vorliegen eines [color=#ff7700][i][b]6-Ecknetzes[/b][/i][/color] aus [color=#980000][b]3[/b][/color] [color=#9900ff][i][b]W-Kurven-Scharen[/b][/i][/color] in der [color=#0000ff][i][b]Moebiusebene[/b][/i][/color] ist,[br]dass die [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] der [color=#980000][b]3[/b][/color] [color=#9900ff][i][b]Scharen[/b][/i][/color] [i][b]zerfallen[/b][/i]: das sind die Orte, in welchen die [color=#9900ff][i][b]Kurven[/b][/i][/color] aus je [color=#980000][b]2[/b][/color] der [color=#9900ff][i][b]Scharen[/b][/i][/color] sich berühren.[br][br]Allgemein gilt für [color=#980000][b]2[/b][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color], und allgemeiner für [color=#980000][b]2[/b][/color] [color=#9900ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] mit [color=#980000][b]2*2[/b][/color] verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Polen[/b][/i][/color], dass die [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] [br][i][b]nie zerfallen[/b][/i], wenn die [color=#980000][b]4[/b][/color] [color=#00ff00][i][b]Pole[/b][/i][/color] weder [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color], noch [color=#BF9000][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf [color=#980000][b]2[/b][/color] [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] liegen;[br]siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/urgjwqdj][color=#0000ff][u][i][b]CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel[/b][/i][/u][/color][/url][br][br]In dieser Aktivität untersuchen wir den Fall, dass die [color=#980000][b]2*2[/b][/color] [i][b]Pole[/b][/i] von [color=#980000][b]2[/b][/color] [color=#9900ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] verschieden und [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] sind.[br][br]Zu [color=#980000][b]4[/b][/color] verschiedenen [color=#ff0000][i][b]konzyklischen[/b][/i][/color] [i][b]Polen[/b][/i] [math]p,p',p'',p'''[/math] kann man auf [color=#980000][b]3[/b][/color] verschiedenen Arten [color=#980000][i][b]2[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit diesen [i][b]Polen[/b][/i] bilden. [br]Mit einer geeigneten [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] kann man die Pole so auf die reelle Achse legen, [br]dass [math]p\in\mathbb{R},p'=-p,p''=\frac{-1}{p},p'''=\frac{1}{p}[/math] gilt. [br]Das Applet zeigt, dass die [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit [color=#980000][b]4[/b][/color] verschiedenen [color=#ff0000][i][b]konzyklischen[/b][/i][/color] [i][b]Polen[/b][/i] [br]in zwei [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zerfallen; einer dieser [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] kann imaginär sein.[br]Eine [color=#9900ff][i][b]W-Kurvenschar[/b][/i][/color] mit 2 [i][b]Polen[/b][/i] besteht aus den [color=#9900ff][i][b]Kurven[/b][/i][/color], welche das zugehörige [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter [color=#0000ff][i][b]konstantem [br]Winkel [/b][/i][/color]schneiden, den [color=#0000ff][i][b]Loxodromen[/b][/i][/color] zu diesem [color=#0000ff][i][b]Winkel[/b][/i][/color].[br]Der [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] zweier [color=#9900ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] mit [color=#980000][i][b]2*2[/b][/i][/color] verschiedenen [i][b]Polen[/b][/i] ist der Ort, in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der beiden [br][color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter [color=#0000ff][i][b]konstanten Winkel[/b][/i][/color] schneiden.[br]Die Applets zeigen, dass diese [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] nur zerfallen für den Schnittwinkel [math]\alpha=0°[/math], also für den [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color]. [br]Alle anderen [color=#0000ff][i][b]Winkel [/b][/i][/color]ergeben [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierte[/b][/i][/color] von [b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurven[/b][/i][/color], also [i][b]irreduzible [/b][/i][color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color].[br][br]Für die [i][b]Pol-Paare[/b][/i] {[math]p,-p[/math]} und {[math]1/p,-1/p[/math]} entstehen die [b]CASSINI[/b]-[/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Kurven[/b][/i][/color][/size] aus den [color=#B45F06][i][b]Peripherie-Winkelkreisen[/b][/i][/color] über der[br]Strecke [math]1/p^2[/math] - [math]p^2[/math] unter der [color=#38761D][i][b]Wurzel-Funktion[/b][/i][/color].[/size]

[size=85]Für die sich trennenden [i][b]Pol-Paare[/b][/i] {[math]p,-1/p[/math]} und {[math]-p,1/p[/math]} transformieren wir die [i][b]Pole[/b][/i] auf den [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color][br]mit der [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [math]w=\frac{z-i}{-i\cdot z+1}[/math]. [br]Es entsteht die im Applet unten angezeigte Situation: Die Schnittorte zu vorgegebenen [i][b]Winkel[/b][/i] sind wieder [b]CASSINI-[color=#ff7700][i]Quartiken[/i][/color][/b], [br]die aus [color=#BF9000][i][b]Peripherie-Winkelkreisen[/b][/i][/color] unter der [color=#38761D][i][b]Wurzel-Funktion[/b][/i][/color] hervorhgehen.[br]Ein [color=#cc0000][i][b]Sonderfall[/b][/i][/color] liegt vor, wenn die [i][b]Pole [/b][/i]sich [color=#0000ff][i][b]harmonisch[/b][/i][/color] trennen. Sie liegen dann sowohl [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color], [br]als auch [color=#BF9000][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf [color=#980000][b]2[/b][/color] [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]. Nur in diesem Falle zerfallen auch die 90°-[color=#ff7700][i][b]Schnittorte[/b][/i][/color].[br][/size]

[size=85]Für die[i][b] Pol-Paare[/b][/i] {[math]p,1/p[/math]}, {[math]-p,-1/p[/math]} im 1. Applet führt die [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [math]z_{\sigma}=\frac{z-1}{z+1}[/math] auf eine Lage der Pole,[br]wie sie im 1. Applet für die Darstellung der Peripherie-Winkel-Orte verwendet wurde.[br]Siehe im Applet unten das Bild des linken Fensters unter der [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [math]\sigma[/math] im rechten Fenster.[/size]

[color=#cc0000][u][i][b]Zusammenfassung:[br][/b][/i][/u][color=#000000][size=85]Sind die [color=#980000][b]4[/b][/color] verschiedenen [i][b]Pole[/b][/i] zweier [color=#0000ff][i][b]Möbius-W-Bewegungen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color], jedoch nicht in [color=#38761D][i][b]harmonischer Lage[/b][/i][/color], [br]so zerfallen die [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] der [color=#9900ff][i][b]Bahnkurven[/b][/i][/color] nur dann, wenn die [color=#9900ff][i][b]Kurven[/b][/i][/color] die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color][br]mit diesen [i][b]Polen[/b][/i] oder die dazugehörenden [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] zu einem konstanten gemeinsamen [color=#0000ff][i][b]Winkel[/b][/i][/color] sind. [br]Dazu gehören auch die beiden polaren [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br][color=#cc0000][u][i][b]Hinweis:[/b][/i][/u][/color] dreht man die [color=#9900ff][i][b]infinitesimalen Bewegungen[/b][/i][/color] um einen gemeinsamen komplexen Faktor, so sind[br]die [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] invariant![br][br][u][color=#cc0000][i][b]Sonderfall:[/b][/i][/color][/u][br]Sind die [i][b]Pole[/b][/i] [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] und [color=#980000][b]2[/b][/color] der [i][b]Pol-Paare[/b][/i] in [color=#38761D][i][b]harmonischer Lage[/b][/i][/color], so zerfällt zusätzlich zum [i][b]Berührort[/b][/i] der [color=#ff0000][i][b]elliptischen[br]Kreisbüschel[/b][/i][/color] auch der [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des einen [i][b]elliptischen Kreisbüschels[/b][/i] und der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des anderen [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen[br]Kreisbüschels[/b][/i][/color]. [br][/size][/color][/color]

[size=85]Der [color=#ff7700][i][b]Ort[/b][/i][/color] der Punkte, in welchen sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbschel[/b][/i][/color] mit [color=#980000][b]4[/b][/color] verschiedenen [color=#ff0000][i][b]konzyklischen[/b][/i][/color] [i][b]Polen[/b][/i][br]unter dem Winkel [math]\alpha=\beta[/math] schneiden ist auch der [color=#ff7700][i][b]Ort[/b][/i][/color] der Punkte, in welchen sich die [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] zu einem gemeinsamen [br]Winkel [math]\delta[/math] unter dem Winkel [math]\alpha[/math] schneiden.[br][u][color=#cc0000][i][b]Kurz[/b][/i][/color][/u]: eine gemeinsame [color=#38761D][i][b]Drehung[/b][/i][/color] der [color=#9900ff][i][b]Infinitesimalen[/b][/i][/color] läßt die [color=#ff7700][i][b]Peripherie-Winkel-Orte[/b][/i][/color] invariant![/size]