Valjak
U ovoj knjizi biće obrađeno geometrijsko telo koje se zove valjak, u jednom poglavlju biće objašnjen pojam valjka i navešće se njegovi osnovni elementi, dok će u drugom poglavlju biti reči o mreži valjka i izračunavanju površine valjka. Naravno, rad će se odnositi na prav valjak.
Table of Contents
- Pojam i elementi valjka
- Lekcija 1.
- Površina valjka
- Lekcija 2.
- Rešenje Zadatka 1. i Zadatka 2.
Lekcija 1.
Pretpostavimo da se dva podudarna kruga nalaze u paralelnim ravnima i da je svaki od njih ortogonalna projekcija onog drugog na odgovarajuću ravan. Površ koju obrazuju projektujući zraci tačaka datih kružnica naziva se [b][i]cilindrična površ[/i][/b].[br][br]
Geometrijsko telo ograničeno ovim krugovima i delom cilindrične površi između njih naziva se [b][i]prav valjak[/i][/b].[br]Kako ćemo se baviti isključivo pravim valjcima, reč "prav" ćemo izostavljati. [br]Krugovi su [b][i]osnove[/i] [/b]ili [b][i]baze[/i] [/b]valjka. [br]Deo cilindrične površi između ravni osnova naziva se [b][i]omotač[/i][/b] valjka.[br]Rastojanje između ravni osnova naziva se [b][i]visina[/i][/b] valjka.[br][br]
Valjak je primer geometrijskog tela koje nije poliedar. On spada u takozvana [b][i]obla tela[/i][/b].[br]Takođe, rotacijom pravougaonika oko jedne njegove stranice nastaje valjak. Preciznije, sve tačke prostora kroz koje prolaze tačke pravougaonika koji rotira obrazuju valjak.[br]Zbog toga se i kaže da je valjak [b][i]rotaciono telo[/i][/b].
Rotacija pravougaonika i nastajanje valjka (kod n pomeranjem klizača vidi se proces rotacije, takodje, ako se u delu kod e umesto xOs stavi yOs, menja se osa rotacije).
Prava koja sadrži centre osnova valjka se naziva [i]osa valjka[/i]. [br]Presek valjka i ravni koja sadrži osu valjka naziva se [i]osni presek [/i]valjka.[br]Svi osni preseci valjka su međusobno podudarni.
Prikaz osnog preseka valjka.
Lekcija 2.
Da bismo došli do formule za površinu valjka, prvo je potrebno da otkrijemo kako izgleda mreža valjka.[br]Mreža valja sadrži dva kruga koja su podudarna njegovim osnovama, dok je omotač valjka razvijen u ravni[br]ustvari pravougaonik.[br]Dužina jedne stranice pravougaonika koji predstavlja omotač jednaka je visini valjka,[br]dok je dužina druge stranice pravougaonika jednaka obimu osnove.
Neka je:[br][math]r[/math]- poluprečnik valjka[br][math]H[/math] - visina valjka[br][math]B[/math] - površina osnove valjka[br][math]M[/math] - površina omotača valjka[br]Tada je: [br][math]B=r^2\pi[/math] i [math]M=2r\pi[/math][br]pa je onda površina valjka:[br][math]P=2B+M[/math][br][math]P=2r^2\pi+2r\pi H[/math][br][math]P=2r\pi\left(r+H\right)[/math]
[color=#0b5394]Dakle, površina valjka poluprečnika osnove r i visine H izračunava se po formuli:[br][center][br][math]P=2r\pi\left(r+H\right)[/math][/center][/color]
Primer 1.
Izračunajmo površinu valjka čija je visina [math]H=5cm[/math], a poluprečnik osnove [math]r=3cm[/math].[br]Koristeći date podatke i uvrštavajući ih u formulu za površinu valjka dobijamo sledeće:[br][math]P=2r\pi\left(r+H\right)[/math][br][math]P=2\cdot3cm\cdot\pi\left(3cm+5cm\right)[/math][br][math]P=48\pi cm^2[/math][br]Ako se uzme da je [math]\pi\approx3,14[/math], dobija se približna vrednost površine [math]P=150,72cm^2[/math].[br][br][br]
Zadatak 1.
Odredi visinu valjka ako je poluprečnik osnove [math]r=5cm[/math], a njegova površina [math]P=100\pi cm^2[/math]
Zadatak 2.
Stranice pravougaonika su [math]a=2cm[/math] i [math]b=3cm[/math]. [br]Odredi površinu tela koje nastaje rotacijom:[br]a) oko stranice [math]a[/math];[br]b) oko stranice [math]b[/math].
Domaći zadatak:
1. Površina valjka je [math]48\pi cm^2[/math], a površina njegovog omotača je [math]30\pi cm^2[/math]. Izračunati dužinu visine valjka.[br]2. Površina omotača valjka je [math]144\pi cm^2[/math], a visina valjka je dva puta veća od poluprečnika. Odrediti poluprečnik i visinu tog valjka.[br]3. Osni presek valjka je kvadrat površine [math]100cm^2[/math]. Izračunati površinu tog valjka.